Question

14．如图，在正方形ABCD中，点P是BC边上一点（不与B、C重合），连接PA，将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，交边DC于F，连接AE，CE．
（1）求证：△ABP∽△PCF；
（2）求∠ECF的度数；
（3）若∠APB=75°，PC=2，求S_△APE．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质和已知条件证明∠PAB=∠EPC，即可证明：△ABP∽△PCF；
（2）如图，过点E作EG⊥AB，垂足为G．首先证明△DAP≌△PGE，从而得到：AP=EG，PG=AD，然后由正方形的性质可知：AB=PG，从而可证明BG=EG，所以∠EBG=45°，从而得到∠CBE=45°；
（3）如图2，连接AC，过C作CH⊥AP交AP的延长线于H，设PB=x，则AB=BC=x+2，根据勾股定理得到AC=$\sqrt{2}$（x+2），解直角三角形得到CH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}（x+2）}{2}$，根据相似三角形的性质得到AP=2$\sqrt{2}$，于是得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠PCD=90°，
∴∠PAB+∠APB=90°，
∵∠APE=90°，
∴∠EPC+∠APB=90°，
∴∠PAB=∠EPC，
∴△ABP∽△PCF；
（2）如图1，过点E作EG⊥BC，垂足为G．
在△ABP和△PGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠EPG}\\{∠ABP=∠EGP}\\{AP=PE}\end{array}\right.$．
∴△ABP≌△PGE，
∴BP=EG，PG=AB，
∵AB=BC，
∴BC=PG，
∴BC-PC=PG-PC，即BP=CG，
∴CG=EG，
又∵∠EGC=90°，
∴∠ECG=45°，
∴∠ECF=45°；
（3）如图2，连接AC，过C作CH⊥AP交AP的延长线于H，
设PB=x，则AB=BC=x+2，
∴AC=$\sqrt{2}$（x+2），
∵∠BAP=15°，∠BAC=45°，
∴∠PAC=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}（x+2）}{2}$，
∵∠B=∠H=90°，∠APB=∠CPH，
∴△ABP∽△CHP，
∴$\frac{CH}{AB}=\frac{PC}{AP}$，即$\frac{\frac{\sqrt{2}（x+2）}{2}}{x+2}$=$\frac{2}{AP}$，
∴AP=2$\sqrt{2}$，
∴S_△APE=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=4．

点评 本题考查了全等三角形的判断和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．