【题目】一、阅读材料:
已知实数m,n满足(2m2+n2+1)(2m2+n2-1)=80,试求2m2+n2的值.
解:设2m2+n2=t,则原方程变为(t+1)(t-1)=80,整理得t2-1=80,t2=81,所以t=土9,因为2m2+n2>0,所以2m2+n2=9.
二、方法归纳:
上面这种方法称为“ 法”,把其中某些部分看成一个整体,并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化.
三、探索实践:
根据以上阅读材料内容,解决下列问题,并写出解答过程.
(1)已知实数x、y,满足(2x2+2y2+3)(2x2+2y2-3)=27,求x2+y2的值.
(2)已知Rt△ACB的三边为a、b、c(c为斜边),其中a、b满足(a2+b2)(a2+b2-4)=5,求Rt△ACB外接圆的半径.
【答案】换元;(1)3;(2)
【解析】
方法归纳:根据题意可知,这种方法称为换元法;
(1)设2x2+2y2=t,利用材料中提供的方法,解关于t的方程即可得出结果;
(2)设a2+b2=t,利用材料中提供的方法先求出a2+b2的值,再利用直角三角形的性质即可求出结果.
解:二、方法归纳:换元
三、探索实践:
(1)设2x2+2y2=t,则原方程可变为:(t+3)(t-3)=27,解之得t=±6.
∵2x2+2y2≥0,∴2x2+2y2=6,∴x2+y2=3;
(2)设a2+b2=t,则原方程可变为:t(t-4)=5,即t2-4t-5=0,
解之得t1=5,t2=-1.
∵a2+b2≥0,∴a2+b2=5,∴c2=5,∴c=,∴外接圆半径为.
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【题目】在平面直角坐标系中,△ABO的三个顶点坐标分别为:A(2,3)、B(3,1)、O(0,0).
(1)将△ABO向左平移4个单位,画出平移后的△A1B1O1.
(2)将△ABO绕点O顺时针旋转180°,画出旋转后得到的△A2B2O.此时四边形ABA2B2的形状是 .
(3)在平面上是否存在点D,使得以A、B、O、D为顶点的四边形是平行四边形,若存在请直接写出符合条件的所有点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,0),B(0,2),C(2,1);
(1)以原点O为位似中心,在第二象限画出△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC的位似比为2:1;
(2)点P(a,b)为线段AC上的任意一点,则点P在△A1B1C1中的对应点P1的坐标为 .
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【题目】如图,在△ABC中,AB=10m,BC=40m,∠C=90°,点P从点A开始沿边AC边向点C以2m/s的速度匀速移动,同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着边CB匀速移动,几秒时,△PCQ的面积等于432m2?
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【题目】在平面直角坐标系中,将一块等腰直角三角板(△ABC)按如图所示放置,若AO=2,OC=1,∠ACB=90°.
(1)直接写出点B的坐标是 ;
(2)如果抛物线l:y=ax2﹣ax﹣2经过点B,试求抛物线l的解析式;
(3)把△ABC绕着点C逆时针旋转90°后,顶点A的对应点A1是否在抛物线l上?为什么?
(4)在x轴上方,抛物线l上是否存在一点P,使由点A,C,B,P构成的四边形为中心对称图形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】甲,乙两人分别从,两地相向而行,甲先走3分钟后乙才开始行走,甲到达地后立即停止,乙到达地后立即以另一速度返回地,在整个行驶的过程中,两人保持各自速度匀速行走,甲,乙两人之间的距离(米)与乙出发的时间(分钟)的函数关系如图所示.当甲到达地时,则乙距离地的时间还需要________分钟.
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【题目】(10分)水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤,然后以每斤4元的价格出售,每天可售出100斤,通过调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.1元,每天可多售出20斤,为保证每天至少售出260斤,张阿姨决定降价销售.
(1)若将这种水果每斤的售价降低x元,则每天的销售量是 斤(用含x的代数式表示);
(2)销售这种水果要想每天盈利300元,张阿姨需将每斤的售价降低多少元?
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【题目】装厂批发某种服装,每件成本为65元,规定不低于10件可以批发,其批发价y(元/件)与批发数量x(件)(x为正整数)之间所满足的函数关系如图所示.
(1)求y与x之间所满足的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)若10≤x≤50(x为正整数),求批发该种服装多少件时,服装厂获得利润600元?
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