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【题目】在平面直角坐标系中,将一块等腰直角三角板(△ABC)按如图所示放置,若AO2OC1,∠ACB90°.

1)直接写出点B的坐标是 

2)如果抛物线lyax2ax2经过点B,试求抛物线l的解析式;

3)把△ABC绕着点C逆时针旋转90°后,顶点A的对应点A1是否在抛物线l上?为什么?

4)在x轴上方,抛物线l上是否存在一点P,使由点ACBP构成的四边形为中心对称图形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1)点B的坐标为(31);(2yx2x2;(3)点A1在抛物线上;理由见解析;(4)存在,点P(﹣21).

【解析】

1)首先过点BBDx轴,垂足为D,通过证明BDC≌△COA即可得BDOC1CDOA2,从而得知B坐标;

(2)利用待定系数法,将B坐标代入即可求得;

(3)画出旋转后的图形,过点作x轴的垂线,构造全等三角形,求出的坐标代入抛物线解析式即可进行判断;

(4)由抛物线的解析式先设出P的坐标,再根据中心对称的性质 与线段中点的公式列出方程求解即可。

1)如图1,过点BBDx轴,垂足为D

∵∠BCD+ACO90°,∠AC0+OAC90°,

∴∠BCD=∠CAO

又∵∠BDC=∠COA90°,CBAC

在△BDC和△COA中:

∵∠BDC=∠COA,∠BCD=∠CAOCB=AC

∴△BDC≌△COAAAS),

BDOC1CDOA2

∴点B的坐标为(31);

2)∵抛物线yax2ax2过点B31),

19a3a2

解得:a

∴抛物线的解析式为yx2x2

3)旋转后如图1所示,过点A1A1Mx轴,

∵把△ABC绕着点C逆时针旋转90°,

∴∠ABC=∠A1BC90°,

A1BC共线,

在三角形BDC和三角形A1CM中:

∵∠BDC=∠A1MC=90°∠BCD=∠A1CMA1C=BC,

∴△BDC≌△A1CM

CMCD312A1MBD1

OM1

∴点A1(﹣1,﹣1),

把点x=﹣1代入yx2x2

y=﹣1

∴点A1在抛物线上.

4)设点Pt t2t2),

A02),点C10),点B31),

若点P和点C对应,由中心对称的性质和线段中点公式可得:

无解,

若点P和点A对应,由中心对称的性质和线段中点公式可得:

无解,

若点P和点B对应,由中心对称的性质和线段中点公式可得:

解得:t=﹣2

t2t21

所以:存在,点P(﹣21).

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二、方法归纳:

上面这种方法称为“     法”,把其中某些部分看成一个整体,并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化.

三、探索实践:

根据以上阅读材料内容,解决下列问题,并写出解答过程.

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