【题目】在平面直角坐标系中,将一块等腰直角三角板(△ABC)按如图所示放置,若AO=2,OC=1,∠ACB=90°.
(1)直接写出点B的坐标是 ;
(2)如果抛物线l:y=ax2﹣ax﹣2经过点B,试求抛物线l的解析式;
(3)把△ABC绕着点C逆时针旋转90°后,顶点A的对应点A1是否在抛物线l上?为什么?
(4)在x轴上方,抛物线l上是否存在一点P,使由点A,C,B,P构成的四边形为中心对称图形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)点B的坐标为(3,1);(2)y=x2﹣x﹣2;(3)点A1在抛物线上;理由见解析;(4)存在,点P(﹣2,1).
【解析】
(1)首先过点B作BD⊥x轴,垂足为D,通过证明△BDC≌△COA即可得BD=OC=1,CD=OA=2,从而得知B坐标;
(2)利用待定系数法,将B坐标代入即可求得;
(3)画出旋转后的图形,过点作x轴的垂线,构造全等三角形,求出的坐标代入抛物线解析式即可进行判断;
(4)由抛物线的解析式先设出P的坐标,再根据中心对称的性质 与线段中点的公式列出方程求解即可。
(1)如图1,过点B作BD⊥x轴,垂足为D,
∵∠BCD+∠ACO=90°,∠AC0+∠OAC=90°,
∴∠BCD=∠CAO,
又∵∠BDC=∠COA=90°,CB=AC,
在△BDC和△COA中:
∵∠BDC=∠COA,∠BCD=∠CAO,CB=AC,
∴△BDC≌△COA(AAS),
∴BD=OC=1,CD=OA=2,
∴点B的坐标为(3,1);
(2)∵抛物线y=ax2﹣ax﹣2过点B(3,1),
∴1=9a﹣3a﹣2,
解得:a=,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2;
(3)旋转后如图1所示,过点A1作A1M⊥x轴,
∵把△ABC绕着点C逆时针旋转90°,
∴∠ABC=∠A1BC=90°,
∴A1,B,C共线,
在三角形BDC和三角形A1CM中:
∵∠BDC=∠A1MC=90°,∠BCD=∠A1CM,A1C=BC,
∴△BDC≌△A1CM
∴CM=CD=3﹣1=2,A1M=BD=1,
∴OM=1,
∴点A1(﹣1,﹣1),
把点x=﹣1代入y=x2﹣x﹣2,
y=﹣1,
∴点A1在抛物线上.
(4)设点P(t, t2﹣t﹣2),
点A(0,2),点C(1,0),点B(3,1),
若点P和点C对应,由中心对称的性质和线段中点公式可得:
,,
无解,
若点P和点A对应,由中心对称的性质和线段中点公式可得:
,,
无解,
若点P和点B对应,由中心对称的性质和线段中点公式可得:
,,
解得:t=﹣2,
t2﹣t﹣2=1
所以:存在,点P(﹣2,1).
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,P是边BC的中点,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E
(1)求证:PD=PE;
(2)DE与BC平行吗?请说明理由;
(3)请添加一个条件,使四边形ADPE为正方形,并加以证明.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC垂足是D,AN是∠BAC的外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足是E,连接DE交AC于F.
(1)求证:四边形ADCE为矩形;
(2)求证:DF∥AB,DF=;
(3)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE为正方形,简述你的理由.
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【题目】如图所示,在等边△ABC中,点D是边AC上一点,连接BD,将△BCD绕着点B逆时针旋转60,得到△BAE,连接ED,则下列结论中:①AE∥BC;②∠DEB=60;③∠ADE=∠BDC,其中正确结论的序号是( )
A.①②B.①③C.②③D.只有①
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【题目】如图,点D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.
(1)判断直线CD和⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E,若BE=5,CD=8,求⊙O的半径.
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【题目】一、阅读材料:
已知实数m,n满足(2m2+n2+1)(2m2+n2-1)=80,试求2m2+n2的值.
解:设2m2+n2=t,则原方程变为(t+1)(t-1)=80,整理得t2-1=80,t2=81,所以t=土9,因为2m2+n2>0,所以2m2+n2=9.
二、方法归纳:
上面这种方法称为“ 法”,把其中某些部分看成一个整体,并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化.
三、探索实践:
根据以上阅读材料内容,解决下列问题,并写出解答过程.
(1)已知实数x、y,满足(2x2+2y2+3)(2x2+2y2-3)=27,求x2+y2的值.
(2)已知Rt△ACB的三边为a、b、c(c为斜边),其中a、b满足(a2+b2)(a2+b2-4)=5,求Rt△ACB外接圆的半径.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(-1,0),请回答下列问题:
(1)求抛物线对应的二次函数的表达式;
(2)抛物线的顶点为D,对称轴与x轴交于点E,连接BD,求BD的长.
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【题目】如图,正方形ABCD中,点E是AD边的中点,BD,CE交于点H,BE、AH交于点G,则下列结论:①∠ABE=∠DCE;②AG⊥BE;③S△BHE=S△CHD;④∠AHB=∠EHD.其中正确的是( )
A.①③B.①②③④C.①②③D.①③④
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【题目】如图:△PCD是等腰直角三角形,∠DPC=90°,∠APB=135°
求证:(1)△PAC∽△BPD;
(2)若AC=3,BD=1,求CD的长.
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