Question

2．阅读理解题：一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面一段对话，请你阅读完后再解答下面问题
老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：（x²-x）²-8（x²-x）+12=0
学生甲：老师，先去括号，再合并同类项，行吗？
老师：这样，原方程可整理为x⁴-2x³-7x²+8x+12=0，次数变成了4次，用现有的知识无法解答．同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点？
学生乙：我发现方程中x²-x是整体出现的，最好不要去括号！
老师：很好．如果我们把x²-x看成一个整体，用y来表示，那么原方程就变成y²-8y+12=0
全体同学：咦，这不是我们学过的一元二次方程吗？
老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然一元二次方程y²-8y+12=0的解是y₁=6，y₂=2，就有x²-x=6或x²-x=2
学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x₁=3，x₂=-2，x₃=2，x₄=-1，嗬，有这么多根啊
老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法．在这里，使用它最大的妙处在于降低了原方程的次数，这是一种很重要的转化方法
全体同学：OK！换元法真神奇！
现在，请你用换元法解下列分式方程（$\frac{x}{x-1}$）²-5（$\frac{x}{x-1}$）-6=0．

Answer 1

分析 设t=$\frac{x}{x-1}$，则原方程转化为关于t的一元二次方程t²-5t-6=0，通过解该方程求得t的值，然后再来解关于x的分式方程．

解答 解：设t=$\frac{x}{x-1}$，则由原方程，得
t²-5t-6=0，即（t-1）（t+6）=0，
解得t=1或t=-6．
当t=1时，$\frac{x}{x-1}$=1，无解；
当t=-6时，$\frac{x}{x-1}$=-6，
解得x=$\frac{6}{7}$．
经检验x=$\frac{6}{7}$是原方程的解．

点评 本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．