Question

【题目】问题背景：

（1）如图1，在△ABC和△CDE中，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，请在图中作出与△BCD相似的三角形．

迁移应用：

（2）如图2，E为正方形ABCD内一点，∠DEB＝135°，在DE上取一点G，使得BE＝EG，延长BE交AG于点F，求AF：FG的值．

联系拓展：

（3）矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P、E分别是AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形，若△PCD是等腰三角形时，直接写出CF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）CF＝3或或．

【解析】

(1)如图1中，连接AE．则△ACE∽△BCD．先证明△BAC∽△DEC，推出，解决问题；

(2)如图2中，过D作DM⊥BF交BF延长线于M，连AM，BD，想办法证明△AMF～△EGF，可得．

(3)作DJ⊥AC于J，证明△ADP∽△CDF，推出=，可得CF===PA，分三种情形分别求出PA即可解决问题．

(1)如图1中，连接AE．则△ACE∽△BCD．

理由：∵在△ABC和△CDE中，AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，

∴=，

∴△BAC∽△DEC，

∴，

∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，

∴∠ACB=∠ABC=∠DCE=∠EDC，

∴∠ACE=∠BCD，

∴△ACE∽△BCD；

(2)如图2中，过D作DM⊥BF交BF延长线于M，连AM，BD，

∵∠BED=135°，

∴∠MED=45°

∴△MED为等腰直角三角形，

由正方形ABCD可知△ADB为等腰直角三角形，

∴，即，

又∠MDE=∠ADB=45°，

∴∠MDA=∠EDB，

∴△AMD～△BED，

∴∠AMD=∠BED=135°，且，

∴∠AMF=∠FEG=45°，

∴AM∥ED，

∴△AMF～△EGF，

；

(3)如图3中，作DJ⊥AC于J．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=BC=8，AB=CD=6，

∴AC===10，

∵S△ADC=ADDC=ACDJ，

∴DJ==，

∵四边形DPEF是矩形，

∴∠ECD=∠EFD=90°，

∴E，C，F，D四点共圆，

∵E，F，D，P四点共圆，

∴E，C，F，D，P五点共圆，

∴∠PCF=∠PEF=90°，

∴∠BCD=∠PCF=90°，

∴∠ACB=∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，

∴∠DAP=∠DCF，

∵∠ADC=∠PDF=90°，

∴∠ADP=∠CDF，

∴△ADP∽△CDF，

∴=，

∴CF===PA，

①当DP=DC时，

∵DJ⊥PC，

∴CJ=PJ===，

∴PA=10﹣=，

∴CF=×=；

②当CD=CP=6时，PA=10﹣6=4，CF=×4=3．

③当PD=PC时，PA=PC=PD=5，

∴CF=×5=，

综上所述，CF=3或或