【题目】已知菱形中,为对角线,点是的中点,连接交于点,的垂直平分线交于点,交于点,连接.
(1)若,求证:四边形是正方形
(2)已知,求的长;
(3)若固定,设,将绕着点从点开始逆时针旋转过程中,菱形也随之变化,且满足,若是直角三角形,直接写出的值;
【答案】(1)证明见解析;(2);(3) .
【解析】
(1)由菱形的性质可得,由垂直平分线的性质可得,,由等边对等角可得:,等量代换可得,由平行线的判定及性质可得,=90°,继而由正方形的判定求证结论;
(2)由菱形的性质可知,,由相似三角形的判定可得,继而由相似三角形对应边成比例的性质可得:,根据题(1)可知,进而可证△BGE∽△BAD,由此可知,代入数据,求出,最后由线段垂直平分线的性质求解;
(3)根据题意,从旋转过程中可看出,线段在旋转360°的过程中,由0°增大到90°再减小到0°再增加到90°再到0°,据此结合图形即可求解.
解:(1)∵四边形是菱形
∴,∴,∵的垂直平分线交于点
∴,∴,∴
∴∴∵,
∴∵四边形是菱形
∴四边形是正方形
(2)∵四边形是菱形
∴,∴;
∴∴
∵∴△BGE∽△BAD,∴
∵∴
∵的垂直平分线交于点∴.
(3)若是直角三角形时的值可能是60°,90°,270°或300°
∵从旋转过程中可看出,线段在旋转360°的过程中,由0°增大到90°再减小到0°再增加到90°再到0°
∴第一次出现是直角三角形时,如图1所示,此时为的一半,可得旋转角度即为60°;第二次出现是直角三角形时,如图2所示,此时(1)中已证明旋转角度即为90°;当继续旋转时到达的下方,同理可得旋转角度为270°和300°.
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【题目】已知圆锥的高为,母线为,且,圆锥的侧面展开图为如图所示的扇形.将扇形沿折叠,使点恰好落在上的点,则弧长与圆锥的底面周长的比值为( )
A.B.C.D.
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【题目】问题背景:
(1)如图1,在△ABC和△CDE中,AB=AC,EC=ED,∠BAC=∠CED,请在图中作出与△BCD相似的三角形.
迁移应用:
(2)如图2,E为正方形ABCD内一点,∠DEB=135°,在DE上取一点G,使得BE=EG,延长BE交AG于点F,求AF:FG的值.
联系拓展:
(3)矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P、E分别是AC、BC上的点,且四边形PEFD为矩形,若△PCD是等腰三角形时,直接写出CF的长.
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【题目】为了解某中学学生课余活动情况,对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计,现从该校随机抽取名学生作为样本,采用问卷调查的方式收集数据(参与问卷调查的每名学生只能选择其中--项),并据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图,由图中提供的信息,解答下列问题:
(1) ,直接补全条形统计图;
(2)若该校共有学生名,试估计该校喜爱看课外书的学生人数;
(3)若被调查喜爱体育活动的名学生中有名男生和名女生,现从这名学生中任意抽取名,请用列表或画树状图的方法求恰好抽到名男生的概率.
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【题目】为做好新型肺炎疫情防控,某社区开展新型肺炎疫情排查与宣传教育志愿服务活动,组织社区20名志愿者随机平均分配在4个院落门甲、乙、丙、丁处值守,并对进出人员进行测温度、劝导佩戴口罩、正确投放生活垃圾等服务.
(1)志愿者小明被分配到甲处服务是( )事件;
A.不可能事件 B.可能事件 C.必然事件 D.无法确定
(2)请用列表或树状图的方法,求出志愿者小明和小红被随机分配到同一处服务的概率.
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【题目】如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,A,B,D,E为格点,C为,的延长线的交点.
(Ⅰ)的结果为_________________.
(Ⅱ)若点R在线段上,点S在线段上,点T在线段上,且满足四边形为菱形,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出菱形,并简要说明点R,S,T的位置是如何找到的(不要求证明)____________________.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点的坐标为,且,抛物线图象经过三点.
(1)求两点的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)若点是直线下方的抛物线上的一个动点,作于点,当的值最大时,求此时点的坐标及的最大值.
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【题目】有六张正面分别标有数字﹣2,﹣1,0,1,2,3的不透明卡片,它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上,洗匀后从中任取一张,将该卡片上的数字记为a,将该卡片上的数字加1记为b,则函数y=ax2+bx+2的图象过点(1,3)的概率为_____.
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【题目】如图,直线y=x﹣2与x轴交于点A,以OA为斜边在x轴的上方作等腰直角三角形OAB,将△OAB沿x轴向右平移,当点B落在直线y=x﹣2上时,则线段AB在平移过程中扫过部分的图形面积为_____.
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