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【题目】已知菱形中,为对角线,点的中点,连接于点的垂直平分线于点,交于点,连接.

1)若,求证:四边形是正方形

2)已知,求的长;

3)若固定,设,将绕着点从点开始逆时针旋转过程中,菱形也随之变化,且满足,若是直角三角形,直接写出的值;

【答案】1)证明见解析;(2;(3

【解析】

1)由菱形的性质可得,由垂直平分线的性质可得,,由等边对等角可得:,等量代换可得,由平行线的判定及性质可得90°,继而由正方形的判定求证结论;

2)由菱形的性质可知,,由相似三角形的判定可得,继而由相似三角形对应边成比例的性质可得:,根据题(1)可知,进而可证△BGE∽△BAD,由此可知,代入数据,求出,最后由线段垂直平分线的性质求解;

3)根据题意,从旋转过程中可看出,线段在旋转360°的过程中,增大到90°再减小到再增加到90°再到,据此结合图形即可求解.

解:(1)∵四边形是菱形

,∴,∵的垂直平分线交于点

,∴,∴

∵四边形是菱形

∴四边形是正方形

2)∵四边形是菱形

,∴

∴△BGE∽△BAD,∴

的垂直平分线交于点

3)若是直角三角形时的值可能是60°90°270°300°

∵从旋转过程中可看出,线段在旋转360°的过程中,增大到90°再减小到再增加到90°再到

∴第一次出现是直角三角形时,如图1所示,此时的一半,可得旋转角度60°;第二次出现是直角三角形时,如图2所示,此时(1)中已证明旋转角度90°;当继续旋转时到达的下方,同理可得旋转角度270°300°

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