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【题目】已知抛物线经过点,点,与x轴交于另一点C,顶点为D,连接

(1)求该抛物线的解析式;

(2)点P为该抛物线上一动点(与点BC不重合),设点P的横坐标为t

①当点P在直线的下方运动时,求面积的最大值;

②该抛物线上是否存在点P,使得?若存在,请直接写出点P的坐标若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2)①当时,的面积取得最大值,最大值为;②存在.满足条件的点P坐标为

【解析】

1)将点,点代入抛物线中求出ab即可;

2)①过点P轴于点E,交直线于点F,先求出直线BC的解析式,进而设P的坐标为F的坐标为,从而求出的面积表达式即可求得最值;②分两种情况进行讨论,当点P在直线BC的上方时,当时,则和当点P在直线BC的下方时,设直线PBCD交于点M,若,则,进而即可求得点P的坐标.

解:(1)∵抛物线经过点,点

解得

∴抛物线的解析式为

2)①如图①,过点P轴于点E,交直线于点F

在抛物线中,令

,解得

∴点C的坐标为

由点和点可求得直线的解析式为

设点P的坐标为,由题意可知

则点F的坐标为

∴当时,的面积取得最大值,最大值为

②存在.满足条件的点P坐标为

∴抛物线的顶点D的坐标为

由点和点可求得直线的解析式为

如图②,当点P在直线的上方时,当时,则

设直线的解析式为,把点的坐标代入,得

∴直线的解析式为

,解得(舍去)

时,

∴点P坐标为

如图③,当点P在直线的下方时

设直线交于点M,若,则

过点B轴于点N,则点

垂直平分线段

设直线交于点G,则线段的中点G.由点和点可求得解析式为

∵直线,与直线

∴由,解得

∴点M的坐标为

由点和点可求得直线的解析式为

∴由,解得(舍去)

∴点P坐标为

∴综上所述,满足条件的点P坐标为

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