【题目】已知抛物线经过点,点,与x轴交于另一点C,顶点为D,连接.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点P为该抛物线上一动点(与点B,C不重合),设点P的横坐标为t,
①当点P在直线的下方运动时,求面积的最大值;
②该抛物线上是否存在点P,使得?若存在,请直接写出点P的坐标若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)①当时,的面积取得最大值,最大值为;②存在.满足条件的点P坐标为和
【解析】
(1)将点,点代入抛物线中求出a,b即可;
(2)①过点P作轴于点E,交直线于点F,先求出直线BC的解析式,进而设P的坐标为,F的坐标为,从而求出的面积表达式即可求得最值;②分两种情况进行讨论,当点P在直线BC的上方时,当时,则和当点P在直线BC的下方时,设直线PB与CD交于点M,若,则,进而即可求得点P的坐标.
解:(1)∵抛物线经过点,点
∴
解得
∴抛物线的解析式为;
(2)①如图①,过点P作轴于点E,交直线于点F
在抛物线中,令
则,解得,
∴点C的坐标为
由点和点可求得直线的解析式为
设点P的坐标为,由题意可知
则点F的坐标为
∴
∴
∵
∴当时,的面积取得最大值,最大值为;
②存在.满足条件的点P坐标为和
∵
∴抛物线的顶点D的坐标为
由点和点可求得直线的解析式为
如图②,当点P在直线的上方时,当时,则
设直线的解析式为,把点的坐标代入,得
∴直线的解析式为
由,解得,(舍去)
当时,
∴点P坐标为;
如图③,当点P在直线的下方时
设直线与交于点M,若,则
过点B作轴于点N,则点
∴
∴垂直平分线段
设直线与交于点G,则线段的中点G为.由点和点可求得解析式为
∵直线,与直线交
∴由,解得
∴点M的坐标为
由点和点可求得直线的解析式为
∴由,解得,(舍去)
∴点P坐标为;
∴综上所述,满足条件的点P坐标为和.
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【题目】某校开展了“创建文明校园”活动周,活动周设置了“A:文明礼仪,B:生态环境,C:交通安全,D:卫生保洁”四个主题,每个学生选一个主题参与.为了解活动开展情况,学校随机抽取了部分学生进行调查,并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图.
(1)本次随机调查的学生人数是 人;
(2)请你补全条形统计图;
(3)在扇形统计图中,“A”所在扇形的圆心角等于 度;
(4)小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动,请用画树状图或列表的方式,求他们恰好同时选中“文明礼仪”或“生态环境”主题的概率.
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【题目】如图,四边形ABCD是平行四边形,//,且分别交对角线AC于点E,F,连接BE,DF.
(1)求证:AE=CF;
(2)若BE=DE,求证:四边形EBFD为菱形.
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【题目】问题背景:
(1)如图1,在△ABC和△CDE中,AB=AC,EC=ED,∠BAC=∠CED,请在图中作出与△BCD相似的三角形.
迁移应用:
(2)如图2,E为正方形ABCD内一点,∠DEB=135°,在DE上取一点G,使得BE=EG,延长BE交AG于点F,求AF:FG的值.
联系拓展:
(3)矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P、E分别是AC、BC上的点,且四边形PEFD为矩形,若△PCD是等腰三角形时,直接写出CF的长.
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【题目】在抗击新型冠状病毒疫情期间,某校学生主动发起为武汉加油捐款活动,为了了解学生捐款金额(单位:元),随机调查了该校的部分学生,根据调查结果,绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息,解答下列问题:
(Ⅰ)本次接受调查的学生人数为_________,图①中m的值为_________;
(Ⅱ)求统计的这组学生捐款数据的平均数、众数和中位数;
(Ⅲ)根据统计的这组学生捐款数据的样本数据,若该校共有1800名学生,估计该校此次捐款总金额为多少元?
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【题目】为了解某中学学生课余活动情况,对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计,现从该校随机抽取名学生作为样本,采用问卷调查的方式收集数据(参与问卷调查的每名学生只能选择其中--项),并据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图,由图中提供的信息,解答下列问题:
(1) ,直接补全条形统计图;
(2)若该校共有学生名,试估计该校喜爱看课外书的学生人数;
(3)若被调查喜爱体育活动的名学生中有名男生和名女生,现从这名学生中任意抽取名,请用列表或画树状图的方法求恰好抽到名男生的概率.
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【题目】如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,A,B,D,E为格点,C为,的延长线的交点.
(Ⅰ)的结果为_________________.
(Ⅱ)若点R在线段上,点S在线段上,点T在线段上,且满足四边形为菱形,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出菱形,并简要说明点R,S,T的位置是如何找到的(不要求证明)____________________.
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