Question

如图，矩形O′A′BC′是矩形OABC绕点B逆时针旋转得到的，O′点在x轴的正半轴上，B点的坐标为（1，3），顶点M的纵坐标为-1，求二次函数对称轴右侧的图象上点P，使得△POB是以OB为直角边的直角三角形．

Answer 1

考点：矩形的性质,二次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：连接OB，根据旋转的性质可得OB=O′B，表示出点O′的坐标，然后求出抛物线顶点坐标，设抛物线解析式为y=a（x-1）²-1，利用待定系数法求出二次函数解析式，①把△AOB绕点O顺时针旋转90°求出B′的坐标，再求出OB′的解析式，与二次函数解析式联立求解即可得到点P的坐标，②把△AOB绕点B逆时针旋转90°得到点O′的坐标，再求出BO′的解析式，与二次函数解析式联立求解即可得到点P的坐标．

解答：解：如图，连接OB，
由旋转的性质得，OB=O′B，
∵B（1，3），
∴点O′（2，0），
∵顶点M的纵坐标为-1，
∴M（1，-1），
设抛物线解析式为y=a（x-1）²-1，
则a（2-1）²-1=0，
解得a=1，
所以，抛物线解析式为y=（x-1）²-1=x²-2x，
①把△AOB绕点O顺时针旋转90°得B′（3，-1）的坐标，
所以，直线OB′的解析式为y=-

1

3

x，
联立

y=x2-2x y=- 1 3 x

，
解得

x1=0 y1=0

（舍去），

x2= 5 3 y2=- 5 9

，
所以，点P的坐标为（

5

3

，-

5

9

），
②把△AOB绕点B逆时针旋转90°得到点O′（4，2），
设直线BO′的解析式为y=kx+b，
则

k+b=3 4k+b=2

，
解得

k=- 1 3 b= 10 3

，
所以，直线O′B的解析式为y=-

1

3

x+

10

3

，
联立

y=x2-2x y=- 1 3 x+ 10 3

，
解得

x1= 5+ 145 6 y1= 55- 145 18

，

x2= 5- 145 6 y2= 55+ 145 18

（舍去），
所以，点P的坐标为（

5+ 145

6

，

55- 145

18

），
综上所述，△POB是以OB为直角边的直角三角形时，P（

5

3

，-

5

9

）或（

5+ 145

6

，

55- 145

18

）．

点评：本题考查了矩形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，利用旋转求出另一直角边所在的直线的解析式是解题的关键．