Question

如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，
（1）试判断四边形PQMN为怎样四边形，并证明你的结论．
（2）求∠NMQ的大小．

Answer 1

考点：中点四边形

专题：

分析：（1）连接四边形ADCB的对角线，通过全等三角形来证得AC=BD，从而根据三角形中位线定理证得四边形NPQM的四边相等，可得出四边形MNPQ是菱形．
（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等得到∠ACE=∠DBE，由等边三角形的性质和三角形外角定理求得∴∠CEB=∠CAB+∠DBE=∠CAB+∠ACE=60°，则∠AOB=∠NMQ=120°．

解答：（1）解：四边形PQMN为菱形．理由如下：
如图，连接BD、AC．
∵△ADE、△ECB是等边三角形，
∴AE=DE，EC=BE，∠AED=∠BEC=60°，
∴∠AEC=∠DEB=120°，
在△AEC与△DEB中，

AE=DE ∠AEC=∠DEB EC=EB

，
∴△AEC≌△DEB（SAS），
∴AC=BD；
∵M、N是CD、AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，即MN=

1

2

AC；
同理可证得：NP=

1

2

DB，QP=

1

2

AC，MQ=

1

2

BD；
∴MN=NP=PQ=MQ，
∴四边形NPQM是菱形；

（2）∵由（1）知，△AEC≌△DEB，
∴∠ACE=∠DBE，
∴∠CEB=∠CAB+∠DBE=∠CAB+∠ACE=60°，
∴∠AOB=120°
又∵∠NMQ=∠DOC=∠AOB，
∴∠NMQ=120°．

点评：此题主要考查的是菱形的判定方法，能发现并构建出全等三角形，是解答本题的关键．