Question

19．如图，A、B两座城市相距100千米，现计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段AB）．经测量，森林保护区中心P点既在A城市的北偏东30°的方向上，又在B城市的南偏东45°的方向上．已知森林保护区的范围是以P为圆心，35千米为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越森林保护区？请通过计算说明．（参考数据：$\sqrt{3}$≈1.732，$\sqrt{2}$≈1.414）

Answer 1

分析 过点P作PC⊥AB，C是垂足．AC与BC就都可以根据三角函数用PC表示出来．根据AB的长，得到一个关于PC的方程，解出PC的长．从而判断出这条高速公路会不会穿越森林保护区．

解答 解：过点P作PC⊥AB，C是垂足，则∠A=30°，∠B=45°，
AC=$\frac{PC}{tan30°}$=$\sqrt{3}$PC，BC=$\frac{PC}{tan45°}$=PC．
∵AC+BC=AB，
∴$\sqrt{3}$PC+PC=100，
∴PC=50（$\sqrt{3}$-1）≈50×（1.732-1）=36.6＞35．
答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．

点评 本题主要考查解直角三角形的应用-方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．