Question

关于x的方程x²-（k+2）x+2k=0
（1）这个方程一定有实数根吗？
（2）若等腰三角形边长a=1，另两边长b、c恰好是这个方程的两根，求△ABC的周长．

Answer 1

考点：根与系数的关系,三角形三边关系,等腰三角形的性质

专题：计算题

分析：（1）先计算判别式的值得到△=（k-2）²，再利用非负数的性质得到△≥0，则利用判别式的意义可判断方程根的情况；
（2）分类讨论：当a=b=1或a=c=1，把x=1代入方程得1-k-2+2k=0，解得k=1，原方程变形为x²-3x+2=0，解得x₁=1，x₂=2；当b=c，则△=（k-2）²=0，解得k=2，原方程变形为x²-4x+4=0，解得x₁=x₂=2，然后根据三角形三边的关系进行判断后计算三角形周长．

解答：解：（1）△=（k+2）²-4•2k
=（k-2）²，
∵（k-2）²≥0，
∴△≥0，
∴这个方程一定有实数根；
（2）当a=b=1或a=c=1，把x=1代入方程得1-k-2+2k=0，解得k=1，原方程变形为x²-3x+2=0，解得x₁=1，x₂=2，而1+1=2，不符合三角形三边的关系，故舍去；
当b=c，则△=（k-2）²=0，解得k=2，原方程变形为x²-4x+4=0，解得x₁=x₂=2，此时三角形周长=1+2+2=5．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了根的判别式、三角形三边的关系和等腰三角形的性质．