Question

1．如图，直线OC，BC的解析式分别为y=x和y=-2x+6，动点P（t，0）在线段OB上移动（不与O，B重合），过点P作直线l与x垂直．
（1）求C点的坐标；
（2）当t为何值时，直线l平分△OBC的面积；
（3）设△OBC内部位于直线l的左侧部分的面积为S．
①S的值能为4吗？为什么？
②若S的值为$\frac{5}{2}$，求此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）解两个函数解析式组成的方程组，就可以求出交点C的坐标．
（2）分两种情况；当0＜t≤2时，解方程$\frac{1}{2}$t²=$\frac{3}{2}$，解得t=$\sqrt{3}$，当2＜t＜3时，解方程（3-t）²=$\frac{3}{2}$，解得t=$\frac{6-\sqrt{6}}{2}$（舍去），t=$\frac{6+\sqrt{6}}{2}$（舍去）．于是得到结论；
（3）过点C作CD⊥x轴于D，当0＜t≤2时，设直线l与OC交于点M，得到$\frac{PM}{CD}$=$\frac{OP}{OD}$，求得S=$\frac{1}{2}$OP•PM=$\frac{1}{2}$t²；当2＜x＜3时，求得S=2+（-t+4）（t-2）=-t²+6t-6；①把S=4分别代入两解析式即可得到结论；②把S=$\frac{5}{2}$代入两解析式即可得到结果．

解答 解：（1）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-2x+6}\end{array}\right.$，
消去y得：-2x+6=x，解得x=2，
把x=2代入y=x得：y=2，
所以$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
则C点的坐标是（2，2）；

（2）当0＜t≤2时，解方程$\frac{1}{2}$t²=$\frac{3}{2}$，解得t=$\sqrt{3}$，
当2＜t＜3时，（3-t）²=$\frac{3}{2}$，
解得t=$\frac{6-\sqrt{6}}{2}$（舍去），t=$\frac{6+\sqrt{6}}{2}$（舍去）．
总之，当t=$\sqrt{3}$时，直线l平分△OBC的面积．

（3）过点C作CD⊥x轴于D，
当0＜t≤2时，设直线l与OC交于点M，
则$\frac{PM}{CD}$=$\frac{OP}{OD}$，即$\frac{PM}{2}$=$\frac{t}{2}$，
则PM=t，
则S=$\frac{1}{2}$OP•PM=$\frac{1}{2}$t²；
当2＜x＜3时，△ODC的面积是$\frac{1}{2}$×2×2=2，
∵OP=t，OD=2，则PD=t-2，CD=2，PN=-2t+6，
则梯形PNCD的面积为$\frac{1}{2}$×（-2t+6+2）×（t-2）=（-t+4）（t-2），
因而函数解析式是S=2+（-t+4）（t-2）=-t²+6t-6；
∴①当S=4时，$\frac{1}{2}$t²=4，解得：t=±2$\sqrt{2}$，∵0＜t≤2，
∴不合题意，
当S=4时，-t²+6t-6=4，
∵△=36-40＜0，
∴此方程无实数根，
∴S的值不能为4，
②当S=$\frac{5}{2}$时，$\frac{1}{2}$t²=$\frac{5}{2}$，
解得：t=±$\sqrt{5}$，
∵0＜t≤2，
∴不合题意，
当S=$\frac{5}{2}$时，$\frac{5}{2}$=-t²+6t-6，
解得：t=$\frac{6+\sqrt{2}}{2}$（不合题意舍去），t=$\frac{6-\sqrt{2}}{2}$，
∴P（$\frac{6-\sqrt{2}}{2}$，0）．

点评 本题考查了求点的坐标，函数的解析式，三角形的面积的求法，解方程组，正确的画出图形是解题的关键．