Question

问题探究：

（一）新知学习：

圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）．

（二）问题解决：

已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径．P是上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M．

（1）若直径AB⊥CD，对于上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；

（2）若直径AB⊥CD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的长为定值，并求其定值；

（3）若直径AB与CD相交成120°角．

①当点P运动到的中点P₁时（如图二），求MN的长；

②当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值．

（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．

 

Answer 1

解：（1）如图一，

∵PM⊥OC，PN⊥OB，

∴∠PMO=∠PNO=90°，

∴∠PMO+∠PNO=180°，

∴四边形PMON内接于圆，直径OP=2；

（2）如图一，

∵AB⊥OC，即∠BOC=90°，

∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°，

∴四边形PMON是矩形，

∴MN=OP=2，

∴MN的长为定值，该定值为2；

（3）①如图二，

∵P₁是的中点，∠BOC=120°

∴∠COP₁=∠BOP₁=60°，∠MP₁N=60°．

∵P₁M⊥OC，P₁N⊥OB，

∴P₁M=P₁N，

∴△P₁MN是等边三角形，

∴MN=P₁M．

∵P₁M=OP₁•sin∠MOP₁=2×sin60°=，

∴MN=；

②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，

交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，

则有∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，

在Rt△QMN中，sin∠MQN=，

∴MN=QN•sin∠MQN，

∴MN=OP•sin∠MQN=2×sin60°=2×=，

∴MN是定值．

（4）由（3）②得MN=OP•sin∠MQN=2sin∠MQN．

当直径AB与CD相交成90°角时，∠MQN=180°﹣90°=90°，MN取得最大值2．