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【题目】已知抛物线C1:y=ax2+bx﹣ (a≠0)经过点A(1,0)和B(﹣3,0).
(1)求抛物线C1的解析式,并写出其顶点C的坐标.
(2)如图1,把抛物线C1沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2 , 此时点A,C分别平移到点D,E处.设点F在抛物线C1上且在x轴的上方,若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形,求点F的坐标.

(3)如图2,在(2)的条件下,设点M是线段BC上一动点,EN⊥EM交直线BF于点N,点P为线段MN的中点,当点M从点B向点C运动时:①tan∠ENM的值如何变化?请说明理由;②点M到达点C时,直接写出点P经过的路线长.

【答案】
(1)解:∵抛物线C1:y=ax2+bx﹣ (a≠0)经过点A(1,0)和B(﹣3,0),

解得

∴抛物线C1的解析式为y= x2+x﹣

∵y= x2+x﹣ = (x+1)2﹣2,

∴顶点C的坐标为(﹣1,﹣2);


(2)解:如图1,作CH⊥x轴于H,

∵A(1,0),C(﹣1,﹣2),

∴AH=CH=2,

∴∠CAB=∠ACH=45°,

∴直线AC的解析式为y=x﹣1,

∵△DEF是以EF为底的等腰直角三角形,

∴∠DEF=45°,

∴∠DEF=∠ACH,

∴EF∥y轴,

∵DE=AC=2

∴EF=4,

设F(m, m2+m﹣ ),则E(m,m﹣1),

∴(﹣ m2+m﹣ )﹣(m﹣1)=4,

解得m=﹣3(舍)或m=3,

∴F(3,6);


(3)解:①tan∠ENM的值为定值,不发生变化;

如图2中,作EG⊥AC,交BF于G,

∵DF⊥AC,BC⊥AC,

∴DF∥BC,

∵DF=BC=AC,

∴四边形DFBC是平行四边形,

∵∠CDF=90°,

∴四边形DFBC是矩形,

∴EG=BC=AC=2

∵EN⊥EM,

∴∠MEN=90°,

∵∠CEG=90°,

∴∠CEM=∠NEG,

∴△ENG∽△EMC,

=

∵F(3,6),EF=4,

∴E(3,2),

∵C(﹣1,﹣2),

∴EC=4

= =2,

∴tan∠ENM= =2;

∵tan∠ENM的值为定值,不发生变化;

②如图3﹣1中,

∵直角三角形EMN中,PE= MN,直角三角形BMN中,PB= MN,

∴PE=PB,

∴点P在EB的垂直平分线上,

∴点P经过的路径是线段PP′,如图3﹣2,

当点M与B重合时,

∵△EGN∽△ECB,

=

∵EC=4 ,EG=BC=2

∴EB=2

=

∴EN=

∵P1P2是△BEN的中位线,

∴P1P2= EN=

∴点M到达点C时,点P经过的路线长为


【解析】(1)用待定系数法即可求得解析式,把解析式化为顶点式即可求得顶点坐标;(2)根据A、C点的坐标求得直线AC的解析式为y=x﹣1,根据题意的EF=4,求得EF∥y轴,设F(m, m2+m﹣ ),则E(m,m﹣1),从而得出(﹣ m2+m﹣ )﹣(m﹣1)=4,解方程即可求得F的坐标;(3)先求得四边形DFBC是平行矩形,作EG⊥AC,交BF于G,然后判断出△ENG∽△EMC,根据相似三角形的性质对应边成比例即可求得tan∠ENM的值,②首先证明点P在EB的垂直平分线上,推出点P经过的路径是线段PP,当点M与B重合时,根据勾股定理和三角形相似求得EN,然后根据三角形中位线定理即可求得。

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∴∠4=BAE 

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∴∠3=   (等量代换)

∵∠1=2(已知)

∴∠1+CAF=2+CAF  

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∴∠3=   (等量代换)

ADBE  

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