Question

如图，直线AB：y=-

1

2

x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线CD：y=2x+4与x轴、y轴分别交于C、D两点，与直线AB交于点P．
（1）求四边形PCOB的面积；
（2）直线CD上是否存在点M，使得△PAM的面积等于四边形PCOB的面积？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）过点P作PH⊥x轴于点H，如图1，由条件易求出点A、B、C、D、P的坐标，从而可求出OA、OB、OC、OD、OH、PH、CH的值，然后运用割补法就可求出四边形PCOB的面积．
（2）①若点M在点P的上方，过点M作ME⊥x轴于点E，如图2，可先求出△PCA的面积，从而得到△MCA的面积，进而得到ME的长（即点M的纵坐标），由点M在直线CD上可求出点M的横坐标，就可得到点M的坐标；②若点M在点P的下方，过点M作ME⊥x轴于点E，如图3，仿照①中的解题过程，就可求出点M的坐标．

解答：解：（1）过点P作PH⊥x轴于点H，如图1．
∵直线y=-

1

2

x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，2），
∴OA=4，OB=2．
∵直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于C、D两点，
∴点C的坐标为（-2，0），点D的坐标为（0，4），
∴OC=2，OD=4．
联立

y=- 1 2 x+2 y=2x+4

，
解得：

x=- 4 5 y= 12 5

．
∵点P是直线y=-

1

2

x+2与直线y=2x+4的交点，
∴点P的坐标为（-

4

5

，

12

5

），
∴OH=

4

5

，PH=

12

5

，
∴CH=CO-OH=2-

4

5

=

6

5

，
∴S_{四边形PCOB}=S_△CHP+S_梯形PHOB
=

1

2

×

6

5

×

12

5

+

1

2

×（

12

5

+2）×

4

5

=

16

5

，
∴四边形PCOB的面积为

16

5

．

（2）直线CD上存在点M，使得△PAM的面积等于四边形PCOB的面积．
①若点M在点P的上方，过点M作ME⊥x轴于点E，如图2．
由题可得：S_△MPA=S_{四边形PCOB}=

16

5

．
∵S_△PCA=

1

2

AC•PH=

1

2

×6×

12

5

=

36

5

，
∴S_△MCA=S_△PCA+S_△MPA=

36

5

+

16

5

=

52

5

，
∴

1

2

×6×ME=

52

5

，
∴ME=

52

15

，即y_M=

52

15

．
∵点M在直线y=2x+4上，
∴2x_M+4=

52

15

，
∴x_M=-

4

15

，
∴点M的坐标为（-

4

15

，

52

15

）．
②若点M在点P的下方，过点M作ME⊥x轴于点E，如图3．
∵S_△MPA=S_{四边形PCOB}=

16

5

，S_△PCA=

1

2

AC•PH=

1

2

×6×

12

5

=

36

5

，
∴S_△MCA=S_△PCA-S_△MPA=

36

5

-

16

5

=4，
∴

1

2

×6×ME=4，
∴ME=

4

3

，即y_M=

4

3

．
∵点M在直线y=2x+4上，
∴2x_M+4=

4

3

，
∴x_M=-

4

3

，
∴点M的坐标为（-

4

3

，

4

3

）．
综上所述：符合条件的点M的坐标为（-

4

15

，

52

15

）或（-

4

3

，

4

3

）．

点评：本题考查了直线与坐标轴的交点问题、直线与直线的交点问题，运用割补法是解决第（1）小题的关键，运用分类讨论的数学思想是解决第（2）小题的关键．