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【题目】我们定义:有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形

1)已知:如图1,四边形ABCD等对角四边形,∠AC,∠A75°,∠D85°,则∠C   

2)已知:在等对角四边形ABCD中,∠DAB60°,∠ABC90°AB4AD3.求对角线AC的长.

3)已知:如图2,在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD等对角四边形,其中A(﹣20)、C20)、B(﹣1,﹣),点Dy轴上,抛物线yax2+bx+ca0)过点AD,且当﹣2≤x≤2时,函数yax2+bx+c取最大值为3,求二次项系数a的值.

【答案】1115°;(2AC的长为;(3a=﹣或﹣1

【解析】

1)∠B=D=85°,则∠C=360°-2×85°-75°=115°,即可求解;

2)①如图1AE=8DE=5,可求出,则AC可求出;②如图2,同理可得BC=BF+CF,则由勾股定理可求出AC的长;

3)由条件可得出∠ADC=ABC=90°,求得D02),代入AD两点的坐标,可求出抛物线的解析式为y=ax2+2a+1x+2,分两种情况考虑:在x=2时,函数y=ax2+2a+1x+2取得最大值为3,可求得,当-2≤x≤2时,在顶点处取得最大值,可求出

解:(1)∠B=∠D85°,则∠C360°2×85°75°115°

故答案为115°

2)①如图1,∠B=∠D90°时,延长ADBC交于点E

∵∠DAB60°

∴∠E30°

又∵AB4AD3

BE4AE8DE5

BCBECE4

②如图,∠A=∠C60°时,过D分别作DEABEDFBC于点F

∵∠DAB=∠BCD60°

又∵AB4AD3

DEBF

BCCF+BF

综合以上可得AC的长为

3)∵A(﹣20)、C20)、B(﹣1,﹣),

AB2BC2AC4

AB2+BC2AC2

∴∠ABC90°

ADCDABBC

∴∠BADBCD

∵四边形ABCD等对角四边形

∴∠ADC=∠ABC90°

D02

∵抛物线yax2+bx+c过点A(﹣20)、D02),

解得:c2b2a+1

∴抛物线的解析式为yax2+2a+1x+2

x2时,函数yax2+2a+1x+2取得最大值为3

4a+4a+2+23

a=﹣

此时抛物线的对称轴为x3

满足题意,

若二次函数yax2+2a+1x+2在顶点取得最大值3,则有:

解得:a=﹣1+a=﹣1

a=﹣1+时,对称轴在直线x2的右侧,不合题意,舍去,

综合以上可得a=﹣或﹣1

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x

……

   

   

   

   

   

……

y

……

   

   

   

   

   

……

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