【题目】我们定义:有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”.
(1)已知:如图1,四边形ABCD是“等对角四边形”,∠A≠∠C,∠A=75°,∠D=85°,则∠C= .
(2)已知:在“等对角四边形”ABCD中,∠DAB=60°,∠ABC=90°,AB=4,AD=3.求对角线AC的长.
(3)已知:如图2,在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD是“等对角四边形”,其中A(﹣2,0)、C(2,0)、B(﹣1,﹣),点D在y轴上,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过点A、D,且当﹣2≤x≤2时,函数y=ax2+bx+c取最大值为3,求二次项系数a的值.
【答案】(1)115°;(2)AC的长为或;(3)a=﹣或﹣1﹣
【解析】
(1)∠B=∠D=85°,则∠C=360°-2×85°-75°=115°,即可求解;
(2)①如图1,AE=8,DE=5,可求出,则AC可求出;②如图2,同理可得BC=BF+CF,则由勾股定理可求出AC的长;
(3)由条件可得出∠ADC=∠ABC=90°,求得D(0,2),代入A,D两点的坐标,可求出抛物线的解析式为y=ax2+(2a+1)x+2,分两种情况考虑:在x=2时,函数y=ax2+(2a+1)x+2取得最大值为3,可求得,当-2≤x≤2时,在顶点处取得最大值,可求出
解:(1)∠B=∠D=85°,则∠C=360°﹣2×85°﹣75°=115°,
故答案为115°;
(2)①如图1,∠B=∠D=90°时,延长AD,BC交于点E,
∵∠DAB=60°,
∴∠E=30°,
又∵AB=4,AD=3
∴BE=4,AE=8,DE=5,
∴,
∴BC=BE﹣CE=4﹣,
∴==,
②如图,∠A=∠C=60°时,过D分别作DE⊥AB于E,DF⊥BC于点F,
∵∠DAB=∠BCD=60°,
又∵AB=4,AD=3,
∴,DE=BF=,
∴,
∴,
∴BC=CF+BF=,
∴=,
综合以上可得AC的长为或.
(3)∵A(﹣2,0)、C(2,0)、B(﹣1,﹣),
∴AB=2,BC=2,AC=4,
∴AB2+BC2=AC2,
∴∠ABC=90°,
∵AD=CD,AB≠BC,
∴∠BAD≠∠BCD,
∵四边形ABCD是“等对角四边形”
∴∠ADC=∠ABC=90°,
∴D(0,2)
∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(﹣2,0)、D(0,2),
∴,
解得:c=2,b=2a+1,
∴抛物线的解析式为y=ax2+(2a+1)x+2,
若x=2时,函数y=ax2+(2a+1)x+2取得最大值为3,
∴4a+4a+2+2=3,
∴a=﹣,
此时抛物线的对称轴为x=3,
∴满足题意,
若二次函数y=ax2+(2a+1)x+2在顶点取得最大值3,则有:
,
解得:a=﹣1+或a=﹣1﹣,
当a=﹣1+时,对称轴在直线x=2的右侧,不合题意,舍去,
∴,
综合以上可得a=﹣或﹣1﹣.
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【题目】小飞研究二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)性质时如下结论:①这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上;②存在一个m的值,使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形;③点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上,若x1<x2,x1+x2>2m,则y1<y2;④当-1<x<2时,y随x的增大而增大,则m的取值范围为m≥2其中错误结论的序号是( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
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【题目】已知二次函数y=ax2+b的图象与直线y=x+2相交于点A(1,m),点B(n,0).
(1)求二次函数的解析式,并写出该拋物线的对称轴和顶点坐标;
(2)选取适当的数据填入下表,并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象;
x | …… |
|
|
|
|
| …… |
y | …… |
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| …… |
(3)画出这两个函数的图象,并结合图象直接写出ax2+b>x+2时x的取值范围.
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【题目】如图,已知正方形OABC的面积为9,点O为坐标原点,点A在x轴上,点C在y轴上,点B在函数y= (k>0,x>0)的图象上,点P(m,n)是函数y= (k>0,x>0)的图象上任一点,过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为E,F,并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S.
(1)求点B的坐标和k的值;
(2)当S=时,求点P的坐标;
(3)写出S关于m的函数表达式.
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【题目】若二次函数y=x2﹣2x+k的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0的解一个为x1=3,则方程x2﹣2x+k=0另一个解x2=_____.
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【题目】如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC边上的点,点F在BC的延长线上,DE∥BC,若∠A=48°,∠1=54°,则下列正确的是( )
A. ∠2=48°B. ∠2=54°C. D.
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【题目】现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高速发展.阜阳市某家快递公司,2017年3月份与5月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件.现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同.
(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率?
(2) 如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件,那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成2017年6月份的快递投递任务?如果不能,请问至少需要增加几名业务员?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A的坐标为(l,1),点B在x轴正半轴上,点D在第三象限的双曲线y=上,过点C作CE//x轴交双曲线于点E,连接BE,则△BCE的面积为________.
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【题目】已知,在矩形ABCD中,连接对角线AC,将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△EFG,并将它沿直线AB向左平移,直线EG与BC交于点H,连接AH,CG.
(1)如图①,当AB=BC,点F平移到线段BA上时,线段AH,CG有怎样的数量关系和位置关系?直接写出你的猜想;
(2)如图②,当AB=BC,点F平移到线段BA的延长线上时,(1)中的结论是否成立,请说明理由;
(3)如图③,当AB=nBC(n≠1)时,对矩形ABCD进行如已知同样的变换操作,线段AH,CG有怎样的数量关系和位置关系?直接写出你的猜想.
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