Question

2．已知：如图，直线y=-$\frac{1}{2}$x+4与x轴交于A点，与y轴交于B点．点C是x轴负半轴上的一点，且满足OC：BC=3：5．
（1）求线段BC的长；
（2）设点C关于原点O对称的点为点M，过点M作直线l平行于y轴．试问在直线l上是否存在点P，使得△ABP是以AB为一条直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点G是线段AC上的一个动点，过点G作GD∥BC，交AB于点D，连结BG，设点G的横坐标为t，△BGD的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）由OC：BC=3：5，设出BC的长度为5a，OC长度为3a，由直线与y轴交点为B，可求出B点坐标，由勾股定理即可求出a的值，从而得出结论；
（2）假设存在，设出P点坐标，由于△ABP是以AB为一条直角边的直角三角形分两种情况，故分两种情况考虑，结合两点间的距离公式及勾股定理即可得出结论；
（3）由相似三角形的性质找出AD的长度，从而得出BD的长度，再结合点到直线的距离与三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）设线段BC的长度为5a，则OC=3a．
令x=0，y=4；
令y=0，-$\frac{1}{2}$x+4=0，解得：x=8．
即点B的坐标为（0，4），点A的坐标为（8，0），
∴OB=4，OA=8．
由勾股定理得：OB=$\sqrt{B{C}^{2}-O{C}^{2}}$=4a=4，
解得：a=1，
故线段BC的长为5．
（2）∵OC=3a=3，
∴点C的坐标为（-3，0），
又∵点C关于原点O对称的点为点M，
∴点M的坐标为（3，0），
∴直线l的解析式为x=3．
假设存在符合条件的点P，设点P坐标为（3，m），
由两点间的距离公式可知：
PA=$\sqrt{（3-8）^{2}+（m-0）^{2}}$，PB=$\sqrt{（3-0）^{2}+（m-4）^{2}}$，AB=$\sqrt{（8-0）^{2}+（0-4）^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
以AB为一条直角边的直角三角形分两种情况：
①当∠ABP=90°时，有AB²+PB²=PA²，即8m=80，
解得：m=10，
此时点P坐标为（3，10）；
②当∠PAB=90°时，有PA²+AB²=PB²，即-8m=80，
解得：m=-10，
此时点P坐标为（3，-10）．
综上可知：在直线l上存在点P，使得△ABP是以AB为一条直角边的直角三角形，点P的坐标为（3，10）或（3，-10）．
（3）直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4，即$\frac{1}{2}$x+y-4=0．
点G（t，0）到直线AB的距离h=$\frac{|\frac{1}{2}t-4|}{\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$|$\frac{1}{2}$t-4|，
∵点G在线段AC上，
∴-3≤t≤8，
∴h=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$t．
∵GD∥BC，
∴∠BCA=∠DGA，
又∵∠BAC=∠DAG，
∴△ABC∽△ADG，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AG}{AC}$．
∵点A（8，0），点C（-3，0），点G（t，0），
∴AC=8-（-3）=11，AG=8-t，
又∵AB=4$\sqrt{5}$，
∴AD=$\frac{AG•AB}{AC}$=$\frac{4\sqrt{5}（8-t）}{11}$，
∴BD=AB-AD=$\frac{4\sqrt{5}（3+t）}{11}$．
△BGD的面积为S=$\frac{1}{2}$BD•h=$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{5}（3+t）}{11}$×（$\frac{8\sqrt{5}}{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$t）=-$\frac{2}{11}$t²+$\frac{10}{11}$t+$\frac{48}{11}$（-3≤t≤8）．

点评 本题考查了勾股定理、两点间的距离公式、点到直线的距离、相似三角形的判定及性质和三角形的面积公式，解题的关键：（1）按照比例设出未知数a，结合勾股定理列出关于a的一元一次方程；（2）分哪个角为直角，结合两点间的距离公式和勾股定理得出关于m的一元一次方程；（3）由相似三角形找出BD的长度．本题属于中档题型，（1）难度不大；（2）容易遗漏一种情况造成失分；（3）数据稍显繁琐，需要耐心计算．