Question

如图，抛物线y=ax²-2ax+c交x轴于A、B两点，且A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），连接AC，过点C的直线CD∥x轴交抛物线于点D．点P从原点O出发以每秒1个单位的速度沿线段OA运动，作直线PQ⊥x轴，且交抛物线于点Q，交CD于点E，交AC于点M，设P运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求MQ的长（用含t的代数式表示），并求当t为何值时，MQ取得最大或最小值；
（3）抛物线在CD上方的部分是否存在这样的点Q，使得以点Q、C、E为顶点的三角形和△APM相似？若存在，求出此时t的值，并直接判断△QCM的形状；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把A和C的坐标代入函数解析式，求得a和c的值，即可求得函数的解析式；
（2）求得AC的解析式，则利用t表示出Q和M的纵坐标，二者的差就是QM的长，从而求得QM关于t的函数解析式，利用函数的性质求得最值；
（3）△APM是直角三角形，则△QCE一定也是直角三角形，即∠QCM=90°，然后求得CQ的解析式，进而求得Q的坐标，横坐标就是t的值．

解答：解：（1）根据题意得：

9a-6a+c=0 c=4

，
解得：

a=- 4 3 c=4

，
则函数的解析式是：y=-

4

3

x²+

8

3

x+4；
（2）在y=-

4

3

x²+

8

3

x+4中，令x=t，解得：y=-

4

3

t²+

8

3

t+4，
设直线AC的解析式是y=kx+b，
则

b=4 3k+b=0

，
解得：

b=4 k=- 4 3

．
则直线的解析式是：y=-

4

3

x+4．
当x=t时，y=-

4

3

t+4，
则QM=-

4

3

t²+

8

3

t+4-（-

4

3

t+4）=-

4

3

t²+4t，（0≤t≤3）．
则当t=-

4

- 8 3

=

3

2

时，QM有最大值是：3；
（3）若以点Q、C、E为顶点的三角形和△APM相似，△APM是直角三角形，则∠QCM=90°，即QC⊥CM．
设CQ的解析式是y=

3

4

x+c，
把C（0，4）代入得：c=4，则CQ的解析式是y=

3

4

x+4．
根据题意得：

y= 3 4 x+4 y=- 4 3 x2+ 8 3 x+4

，
解得：

x=0 y=4

或

x= 23 16 y=5 5 64

，
则t=

23

16

．
此时△QCM是直角三角形，且∠QCM=90°．

点评：本题是二次函数待定系数法求函数解析式以及求函数的最值和相似三角形的判定与性质的综合应用，待定系数法求函数的解析式是基础．