Question

【题目】如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把矩形沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为_____．

Answer 1

【答案】6或3

【解析】

当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，先利用勾股定理计算出AC=10，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=6，可计算出CB′=4，设BE=x，则EB′=x，CE=8-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时四边形ABEB′为正方形．

解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC==10，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，如图，
∴EB=EB′，AB=AB′=6，
∴CB′=10-6=4，
设BE=x，则EB′=x，CE=8-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
∴B′E=3；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．
此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=6．
综上所述，B′E的长为3或6．
故答案为：6或3．