Question

【题目】如图1：在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连结BE，CD，点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点．

(1)观察猜想

图1中△PMN的形状是 ；

(2)探究证明

把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，△PMN的形状是否发生改变？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）等边三角形；（2）△PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形．

【解析】分析：（1）由等边三角形的性质，得到AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°．由AD=AE，得到BD=EC．由中位线的性质，得到NP∥BD，BD=2NP，进而有∠NPC=∠ABC=60°，BD=2NP．

同理有EC=2MP，∠MPB=∠ECB=60°，得到MP=NP，∠MPN=180°－∠MPB－∠NPC=60°，即可得到结论．

（2）连接BD，CE．易证△ABD≌△ACE，得到BD=CE，∠ABD=∠ACE．由PM是△BCE的中位线，得到PM=CE且PM∥BD．同理可证PN=BD且PN∥BD，得到BD=CE，∠MPB=∠ECB，∠NPC=∠DBC，进而得到∠MPN=60°，即可得到结论．

详解：（1）等边三角形 ．理由如下：

∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°．

∵AD=AE，∴BD=EC．

∵N、P分别是DC、BC的中点，∴NP是△BCD的中位线，∴NP∥BD，BD=2NP，∴∠NPC=∠ABC=60°，BD=2NP．

同理可证：EC=2MP，∠MPB=∠ECB=60°．

∴MP=NP，∠MPN=180°－∠MPB－∠NPC=60°，∴△MPN是等边三角形．

（2）△PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形．理由如下：

连接BD，CE．

由旋转可得∠BAD=∠CAE．

∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=∠ABC=60°，

∴△ABD≌△ACE，

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE．

∵M是BE的中点，P是BC的中点，

∴PM是△BCE的中位线，

∴PM=CE且PM∥BD．

同理可证PN=BD且PN∥BD，

∴BD=CE，∠MPB=∠ECB，∠NPC=∠DBC，

∴∠MPB+∠NPC=∠ECB+∠DBC=(∠ACB+∠ACE)+(∠ABC-∠ABD)= ∠ACB+∠ABC=120°，

∴∠MPN=60°，

∴△PMN是等边三角形．