Question

【题目】如图①，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点；抛物线过，两点，与轴交于另一点，抛物线的顶点为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线上方的抛物线上有一动点，求出点到直线的距离的最大值；

（3）如图②，直线与抛物线的对称轴相交于点，请直接写出的平分线与轴的交点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）先求出点坐标，点坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；

（2）过点作轴交于点，交轴于点，过作于，

则点到的距离为，利用得出，设，，表示出的长度表达式，进而得出的表达式，利用二次函数性质得出的最值；

（3）设的平分线为,过点作于点，交于点，根据角平分线分线段成比例得：，从而求出点的坐标，进而求出DP的关系式，从而得出P点坐标．

解：（1）在中，当时，；当时，，

点坐标为，点坐标为，

将，代入得

，解得

抛物线的解析式为

（2）过点作轴交于点，交轴于点，过作于，

则点到的距离为，

又，

，，

在中，，，

由勾股定理得，，

，，

设，，

则

当时，点到直线的距离的最大值为．

（3）

设的平分线为,过点作于点，交于点，

∵抛物线的解析式为，

∴，，

∴，，

根据角平分线分线段成比例得：，

∴，即：，

∵对称轴是直线，

∴，

∴，

∴，

设的关系式为，

把，代入得：

，解得：，

∴的关系式为

令，得：，

∴．