Question

20．如图，以AE为折痕折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，AF交BD于P点．
（1）求证：sin∠BAF=$\frac{BP}{PD}$；
（2）求证：PE⊥CD；
（3）在AD边上截取DG，使DG=CF，连接GE交BD于H，试判断△EFH的外接圆与CD的位置关系，证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）如图1由四边形ABCD是矩形，得到AD∥BF，△BPF∽△DPA，$\frac{PB}{PD}$=$\frac{BF}{AD}$，根据折叠的性质得：AF=AD，在R_t△ABF中，sin∠BAF=$\frac{BF}{AF}$，由等量代换得到sin∠BAF=$\frac{BP}{FD}$；
（2）如图1，由折叠的性质得：DE=EF，∠ADC=AFE=90°，得到∠AFB+∠EFC=90°，∠BAF=EFC，△ABF∽△FCE，$\frac{BF}{AF}$=$\frac{CE}{EF}$，由（1）证得$\frac{PB}{PD}$=$\frac{BF}{AD}$，由等量代换得$\frac{PB}{PD}$=$\frac{CE}{DE}$，证得PE∥BC，由BC⊥CD，得到PE⊥CD；
（3））如图2，根据∠BAD=∠ADC=90°，△ABF∽△FCE，得到$\frac{AB}{AF}$=$\frac{CF}{EF}$，由AF=AD，CF=DG，EF=DE，$\frac{AB}{AD}$=$\frac{DG}{DE}$，△ABD∽△DGE，得到∠1=∠3，再根据∠2+∠3=90°，得到∠1+∠2=90°，∠GHD=90°，∠PHE=90°，再根据∠PFE=90°，证得点P、F、E、H四点共圆，PH为圆的直径，因为PE⊥CD，得到△EFH的外接圆与CD相切．

解答 解：（1）如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BF，
∴△BPF∽△DPA，
∴$\frac{PB}{PD}$=$\frac{BF}{AD}$，
由折叠的性质得：AF=AD，
在R_t△ABF中，sin∠BAF=$\frac{BF}{AF}$，
∴sin∠BAF=$\frac{BP}{FD}$；

（2）如图1，由折叠的性质得：DE=EF，∠ADC=AFE=90°，
∴∠AFB+∠EFC=90°，
∴∠BAF=EFC，
∴△ABF∽△FCE，
∴$\frac{BF}{AF}$=$\frac{CE}{EF}$，
由（1）证得$\frac{PB}{PD}$=$\frac{BF}{AD}$，
∴$\frac{PB}{PD}$=$\frac{CE}{DE}$，
∴PE∥BC，
∵BC⊥CD，
∴PE⊥CD；

（3）如图2，∵∠BAD=∠ADC=90°，
∵△ABF∽△FCE，
∴$\frac{AB}{AF}$=$\frac{CF}{EF}$，
∵AF=AD，CF=DG，EF=DE，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{DG}{DE}$，
∴△ABD∽△DGE，
∴∠1=∠3，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠GHD=90°，
∴∠PHE=90°，
∵∠PFE=90°，
∴点P、F、E、H四点共圆，
∴PH为圆的直径，
∵PE⊥CD，
∴△EFH的外接圆与CD相切．

点评 本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，四点共圆，圆的性质，圆与直线的位置关系．