Question

【题目】在中，，为高，

（1）如图1，当时，求的值；

（2）如图2，点是的中点，过点作交于，求的值；（用含的代数式表示）

（3）在（2）的条件下，若，则　 　．（直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）利用已知条件可知△ADC∽△CDB，利用相似三角形的性质：对应边成比例即可解；

（2）要求的值，想办法把放在两个三角形中，只要两个三角形相似，找到相似比即可求，但根据图2没有发现这样的两个三角形，所以添加辅助线，过点P作PG∥AC，可得△PCE∽△PGF，进而利用相似三角形对应边成比例即可得出答案；

（3）由第二问中的结论，进而求出AF,AP的长，然后再Rt△APF中运用勾股定理即可.

解：（1）∵CD⊥AB

∴∠ADC=∠CDB=90°

∵∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°

∴∠A=∠BCD

∽，

得=，

（2）过点P作PG∥AC交AB于点G．

∴∠PGF＝∠CAD，∠GPC＝90°，

∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，

∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠PCE＝90°，

∴∠PCE＝∠CAD，

∴∠PCE＝∠PGF，

又∵PF⊥AP，

∴∠CPE+∠APG＝∠FPG+∠APG＝90°，

∴∠CPE＝∠GPF，

∴△PCE∽△PGF，

∴，

又∵点P是BC的中点，

∴AC＝2PG，

（3）由（2）设PF=x,PE=2x

∵PF=BF

∴∠FPB=∠FBP

∵∠GPB=90°

∴∠GPF+∠FPB＝90°∠PGB+∠FBP＝90°,

∴∠FGP=∠FPG

∴PF=BF=GF=x

∴AG=BG=2x

∴AF=AG+GF=3x

∵△PCE∽△PGF

∴

∴CE=PE=nx

∵∠ACB=90°

∴∠ACE+∠ECP＝90°∠CAP+∠EPC＝90°,

∵CE=PE=nx

∴∠ECP=∠EPC

∴∠ACE=∠CAP

∴CE=AE=PE

∴AE=PE=nx

∴AP=AE+PE=2nx

在Rt△APF中，

即

∴