Question

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x=-1，与x轴的交点为（x₁，0）、（x₂，0），其中0＜x₁＜1，有下列结论：
其中，正确的结论有（　　）
①abc＞0；②-3＜x₂＜-2；③4a+1＞2b-c；④4ac-b²+4a＜0；⑤a＞

1

3

．

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=-1得b=2a＞0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，则abc＜0；由于抛物线与x轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性得到抛物线与x轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜x₂＜-2；由于b=2a，c＜-1，则4a+1＜2b-c；由于b=2a，则4ac-b²+4a=4a（a-c+1），再利用x=-1有a-b+c＜0，则a-c＞0，所以4ac-b²+4a=4a（a-c+1）＞0；由于x=1时，函数为正值，则a+b+c＞0，即a+2a+c＞0，解得a＞-

1

3

c，然后利用c＜-1得到a＞

1

3

．

解答：解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=-1，
∴b=2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，而对称轴为直线x=-1，
∴抛物线y=ax²+bx+c与x轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，
∴-3＜x₂＜-2，所以②正确；
∵b=2a，c＜-1，
∴4a+1＜2b-c，所以③错误；
∵b=2a，
∴4ac-b²+4a=4ac-4a²+4a=4a（a-c+1），
∵x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，
∴a-2a+c＜0，即a-c＞0，
∴4ac-b²+4a=4a（a-c+1）＞0，所以④错误；
∵x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，
∴a+2a+c＞0，即a＞-

1

3

c，
而c＜-1，
∴a＞

1

3

，所以⑤正确．
故选B．

点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-

b

2a

；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b²-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b²-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．