【题目】如图,在△ABC中,D、E、F分别为BC、AC、AB的中点,AD、BE、CF相交于点O,AB=6,AC=8,BC=10,则DE=_____,OA=_____,OF=_____,∠DEF=∠_____.
【答案】3 ABC
【解析】
易得DE是△ABC的中位线,那么DE等于AB的一半;可证得△ABC是直角三角形,那么AD等于BC的一半;AO等于AD的三分之二;利用勾股定理可得求得FC的长,则OF等于CF的三分之一;各对应边成比例,那么△ABC∽△DEF,那么∠DEF=∠ABC.
解:∵D、E、F分别为BC、AC、AB的中点,
∴DE是ABC的中位线,
∴DE=AB=3;
∵AB=6,AC=8,BC=10,
∴∠A=90°,
∴AD=BC=5,
同理DE∥AB
∴△DOE∽△AOB,
∴,
∴AO=AD=;
∵CF==,
同理可得OF=CF,
∴OF=CF=,
∵△ABC和△DEF各对应边之比均为1:2,
∴△ABC∽△DEF,
∴∠DEF=∠ABC.
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【题目】(9分)已知:ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程的两个实数根.
(1)当m为何值时,四边形ABCD是菱形?求出这时菱形的边长;
(2)若AB的长为2,那么ABCD的周长是多少?
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【题目】课本中有一道作业题:
有一块三角形余料ABC,它的边BC=120mm,高AD=80mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.问加工成的正方形零件的边长是多少mm?
小颖解得此题的答案为48mm,小颖善于反思,她又提出了如下的问题.
(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成,如图1,此时,这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm?请你计算.
(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形,如图2,这样,此矩形零件的两条边长就不能确定,但这个矩形面积有最大值,求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.
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【题目】已知,点O是等边△ABC内的任一点,连接OA,OB,OC.
(1)如图1,已知∠AOB=150°,∠BOC=120°,将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC.
①∠DAO的度数是 ;
②用等式表示线段OA,OB,OC之间的数量关系,并证明;
(2)设∠AOB=α,∠BOC=β.
①当α,β满足什么关系时,OA+OB+OC有最小值?请在图2中画出符合条件的图形,并说明理由;
②若等边△ABC的边长为1,直接写出OA+OB+OC的最小值.
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【题目】课本中有一个例题:
有一个窗户形状如图1,上部是一个半圆,下部是一个矩形,如果制作窗框的材料总长为6m,如何设计这个窗户,使透光面积最大?
这个例题的答案是:当窗户半圆的半径约为0.35m时,透光面积最大值约为1.05m2.
我们如果改变这个窗户的形状,上部改为由两个正方形组成的矩形,如图2,材料总长仍为6m,利用图3,解答下列问题:
(1)若AB为1m,求此时窗户的透光面积?
(2)与课本中的例题比较,改变窗户形状后,窗户透光面积的最大值有没有变大?请通过计算说明.
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【题目】已知:如图,四边形ABCD是菱形,点E在边CD上,点F在BC的延长线上,CF=DE,AE的延长线与DF相交于点G.
(1)求证:∠CDF=∠DAE;
(2)如果DE=CE,求证:AE=3EG.
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【题目】如图,某小学门口有一直线马路,交警在门口设有一条宽度为4米的斑马线,为安全起见,规定车头距斑马线后端的水平距离不得低于2米,现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下,汽车里司机与斑马线前后两端的视角分别为∠FAE=15°和∠FAD=30°,司机距车头的水平距离为0.8米,试问该旅游车停车是否符合上述安全标准?(E,D,C,B四点在平行于斑马线的同一直线上)(参考数据:tan15°=2-,≈1.732,≈1.414)
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【题目】已知二次函数的图象过点(1,)、(2,4)、(﹣1,)与x轴分别交于B(左)、C两点,与y轴交于点A.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求△ABC的面积.
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【题目】如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),顶点为C.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)若将该抛物线向上平移t个单位后,它与x轴恰好只有一个交点,求t的值.
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