Question

如图，在四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD．
（1）求证：AB=AD；
（2）请问∠BAD，∠EAF之间有什么数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接AC，根据线段中点的定义可得BE=CE，然后利用“边角边”证明△ABE和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=AC，同理可得AD=AC，等量代换即可得证；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠BAE=∠CAE，同理可得∠DAF=∠CAF，然后求解即可．

解答：（1）证明：如图，连接AC，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
在△ABE和△ACE中，

BE=CE ∠AEB=∠AEC=90° AE=AE

，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴AB=AC，
同理可得AD=AC，
∴AB=AD；

（2）解：∠BAD=2∠EAF．
理由如下：∵△ABE≌△ACE，
∴∠BAE=∠CAE，
同理可得∠DAF=∠CAF，
∵∠BAD=∠BAE+∠CAE+∠CAF+∠DAF=2（∠CAE+∠CAF）=2∠EAF，
即∠BAD=2∠EAF．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．