Question

阅读下列材料：
我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x-0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为|x₁-x₂|表示在数轴上x₁，x₂对应点之间的距离；
例1、解方程|x|=2，容易看出，在数轴下与原点距离为2点的对应数为±2，即该方程的解为x=±2
例2、解不等式|x-1|＞2，如图，在数轴上找出|x-1|=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为-1或3，则|x-1|＞2的解为x＜-1或x＞3

例3、解方程|x-1|+|x+2|=5，由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和-2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或-2的左边，若x对应点在1的右边，由图可以看出x=2；同理，若x对应点在-2的左边，可得x=-3，故原方程的解是x=2或x=-3

参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x+3|=4的解为

 

（2）解不等式|x-3|+|x+4|≥9；
（3）若|x-3|-|x+4|≤a对任意的x都成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值

专题：

分析：（1）利用绝对值的性质，直接化简进而求出即可；
（2）分x≤-4、-4＜x≤3和x＞3三种情况进行讨论，去掉绝对值符号，即可求解；
（3）当x≤-4 时，当-4＜x＜3 时，当x≥3 时三种情况进行讨论，去掉绝对值符号，即可求解．

解答：解：（1）∵|x+3|=4，
∴x+3=±4，
解得：x₁=-7，x₂=1；
故答案为：x₁=-7，x₂=1；

（2）当x≤-4时，原不等式即3-x-x-4≥9，
解得：x≤-5；
当-4＜x≤3时，原式即：3-x+x+4≥9，无解；
当x＞3时，原式即：x-3+x+4≥9，解得：x≥4．
故不等式的解集是：x≤-5或x≥4．

（3）①当x≤-4 时，原式=-（x-3）+（x+4）≤a，
即 a≥7；
②当-4＜x＜3 时，
-（x-3）-（x+4）≤a，
即 a≥-2x-1，
由于-4＜x＜3，
故-2x-1＞-2×3-1=-7，
即 a＞-7；
③当x≥3 时，原式=（x-3）-（x+4）≤a，
即 a≥-7；
所以a≥7时，不等式恒成立．

点评：本题考查了含有绝对值的不等式的解法，正确对x的范围进行讨论，转化为一般的不等式是关键．