Question

如图，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），C（0，-

5

2

）三点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；
（3）当点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大，并求出此时P点的坐标和△PBC的最大面积．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）A（-1，0），B（5，0），C（0，-

5

2

）代入y=ax²+bx+c，即可得出抛物线的解析式，
（2）点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，在抛物线的对称轴上有一点M，要使MA+MC的值最小，则点M就是BC与抛物线对称轴的交点，把B（5，0），C（0，-

5

2

）代入y=kx+b，求出直线BC的解析式，把抛物线对称轴x=2代入即可得到点M的坐标，
（3）过点P作l∥BC，交y轴于Q点，当l与抛物线只有唯一的公共点P时，△PBC的面积最大，联立方程利用△可求出设此时l的解析式，可求出点P的作坐标，作CN⊥l，利用

CN

CQ

=

OB

BC

求出CN，即可得出△PBC的面积．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，把A（-1，0），B（5，0），C（0，-

5

2

）代入解析式，
得

0=a-b+c 0=25a+5b+c - 5 2 =c

，解得

a= 1 2 b=-2 c=- 5 2

，
所以抛物线的解析式为y=

1

2

x²-2x-

5

2

．
（2）如图1，点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，在抛物线的对称轴上有一点M，要使MA+MC的值最小，
则点M就是BC与抛物线对称轴的交点，

∵抛物线的解析式为y=

1

2

x²-2x-

5

2

．
∴抛物线对称轴x=2，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（5，0），C（0，-

5

2

）代入得

0=5k+b - 5 2 =b

，解得

k= 1 2 b=- 5 2

．
∴直线BC的解析式为y=

1

2

x-

5

2

，
∵M的横坐标为2，
∴点M的坐标为（2，-

3

2

），
（3）过点P作l∥BC，交y轴于Q点，如图2，

∵当l与抛物线只有唯一的公共点P时，△PBC的面积最大，设此时l的解析式为y=

1

2

x+n，
∴方程有唯一一组解，即

1

2

x²-2x-

5

2

=

1

2

x+n有相等的实数解，
整理得x²-5x-5-2n=0，△=5²-4（-5-2n）=0，解得n=-

45

8

，y=

1

2

x-

45

8

，
∴此时P点坐标为（

5

2

，-

35

8

），
∵Q点坐标为（0，-

45

8

），
作CN⊥l，CQ=OQ-OC=

45

8

-

5

2

=

25

8

，
∵

CN

CQ

=

OB

BC

=

5

52+( 5 2 )2

=

2 5

5

，
∴CN=

2 5

5

•

25

8

=

5 5

4

，
∴△PBC的面积=

1

2

BC•CN=

1

2

×

5 5

2

×

5 5

4

=

125

16

．

点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解．