Question

14．已知矩形ABCD中，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，且四边形EFDC与矩形ABCD相似．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）求证：F点是AD的黄金分割点．

Answer 1

分析 （1）根据题意证明四边形ABEF是矩形，根据折叠的性质得到AB=AF，证明结论；
（2）根据相似多边形的性质得到AB²=FD•AB，根据正方形的性质得到答案．

解答 证明：（1）∵∠B=∠BAF=∠AFE=90°，
∴四边形ABEF是矩形，
由折叠的性质可知AB=AF，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）∵四边形EFDC与矩形ABCD相似
∴$\frac{FD}{AB}$=$\frac{CD}{AD}$，又AB=CD，
∴AB²=FD•AB，又AB=AF，
∴AF²=FD•AB，
∴F点是AD的黄金分割点．

点评 本题考查的是相似多边形的性质和黄金分割的概念，掌握相似多边形的性质为：对应角相等；对应边的比相等是解题的关键，注意把线段分成两条线段，且使较长是已知线段和较短的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．