分析 易证△AEF≌△CEB，则有AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，然后根据相似三角形的性质就可求出$\frac{AP}{PD}$的值；
解决问题：（1）过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．易证△AEF≌△CEB，则有EF=BE，AF=BC=2k．易证△AFP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质就可求出$\frac{AP}{PD}$的值；
（2）当CD=2时，可依次求出BC、AC、EC、EB、EF、BF的值，然后根据$\frac{FP}{BP}$的值求出$\frac{BF}{BP}$，就可求出BP的值．
解答 解：$\frac{AP}{PD}$的值为$\frac{3}{2}$．
提示：易证△AEF≌△CEB，则有AF=BC．
设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，
由AF∥BC可得△APF∽△DPB，
即可得到$\frac{AP}{PD}$=$\frac{AF}{BD}$=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$；
解决问题：
（1）过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，如图，
设DC=k，
由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．
∵E是AC中点，
∴AE=CE．
∵AF∥DB，
∴∠F=∠1．
在△AEF和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠1}\\{∠2=∠3}\\{AE=CE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CEB，
∴EF=BE，AF=BC=2k．
∵AF∥DB，
∴△AFP∽△DBP，
∴$\frac{AP}{DP}$=$\frac{FP}{BP}$=$\frac{AF}{DB}$=$\frac{2k}{3k}$=$\frac{2}{3}$．
∴$\frac{AP}{PD}$的值为$\frac{2}{3}$；
（2）当CD=2时，BC=4，AC=6，
∴EC=$\frac{1}{2}$AC=3，EB=$\sqrt{E{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴EF=BE=5，BF=10．
∵$\frac{FP}{BP}$=$\frac{2}{3}$（已证），
∴$\frac{BF}{BP}$=$\frac{5}{3}$，
∴BP=$\frac{3}{5}$BF=$\frac{3}{5}$×10=6．
故答案为6．
点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，结合中点，作平行线构造全等三角形是解决本题的关键．
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如图，在?ABCD中，对角线AC、BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD于F．查看答案和解析>>
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如图，△ABC绕A逆时针旋转使得C点落在BC 边上的F 处，则对于结论①AC=AF；②∠FAB=∠EAB； ③EF=BC；④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（ ）| A． | 4个 | B． | 3个 | C． | 2个 | D． | 1个 |
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如图，将三角形ABC沿着DE折叠，使点A落在BC上的点F处，且DE∥BC，若∠B=65°，则∠BDF=50°．