Question

【题目】四边形ABCD中，点E在边AB上，连结DE，CE．

（1）若∠A=∠B=∠DEC=50°，找出图中的相似三角形，并说明理由；

（2）若四边形ABCD为矩形，AB=5，BC=2，且图中的三个三角形都相似，求AE的长．

（3）若∠A=∠B=90°，AD＜BC，图中的三个三角形都相似，请判断AE和BE的数量关系并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）△DAE∽△EBC，理由见解析；（2）AE=1或4；（3）AE=BE或BE=2AE，理由见解析.

【解析】

（1）三角形内角和为180°，所以∠ADE+∠DEA=180°﹣∠A=130°，又因为∠DEA+∠CEB=180°﹣∠DEC=130°，所以∠ADE=∠CEB，已知∠A=∠B，所以△DAE∽△EBC；

（2）设AE=x，则BE=5﹣x，不难证明△DAE∽△EBC，根据相似三角形的性质列方程求出x即可；（3）分两类进行讨论：①∠A=∠B=∠DEC=90°，②∠DEC≠90°，结合相似三角形的性质分别求出AE和BE的数量关系．

（1）△DAE∽△EBC，

理由：∵∠A=∠DEC=50°，

∴∠ADE+∠DEA=180°﹣∠A=130°，∠DEA+∠CEB=180°﹣∠DEC=130°，

∴∠ADE=∠CEB，

∵∠A=∠B，

∴△DAE∽△EBC；

（2）

设AE=x，则BE=5﹣x，

∵矩形ABCD，

∴∠A=∠B=∠ADC=∠BCD=90°，

∵图中三个三角形都相似，

∴△DEC为直角三角形，

∵∠EDC＜90°，∠ECD＜90°，

∴∠DEC=90°，

∴∠ADE+∠AED=90°，

∵AED+∠CEB=90°，

∴∠AED=∠ECB，

∴△DAE∽△EBC，

∴=，即=，

解得：x=1或4，

即AE=1或4；

（3）AE=BE或BE=2AE，

理由：①

当∠A=∠B=∠DEC=90°时，∠DCE≠∠CEB，可得∠DCE=∠BCE，

所以△DEC∽△DAE∽△EBC，

∴=，==，

∴=，即BE=AE；

②当∠DEC≠90°时，

如图，∵AD＜BC，

∴∠CDE=90°，

∵∠DCE≠∠CEB，

∴∠DCE=∠ECB，∠DEC=∠CEB，

∴DE=BE，

∵∠ADE≠∠DEC，

∴∠ADE=∠DCE，∠AED=∠DEC，

∴∠AED=∠DEC=∠CEB=60°，

∴==cos60°=，

∴BE=2AE．