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【题目】有这样一个问题:探究方程x3x20的实数根的个数.

小芳想起了曾经解决的一个问题:通过函数图象探究方程x2+3x10的实数根的个数,她想到了如下的几个方法:

方法1:方程x2+3x10的根可以看作是抛物线yx2+3x1与直线y0(即x轴)交点的横坐标;这两个图象的交点个数即是方程x2+3x10的实数根的个数.

方法2:将方程变形成x2=﹣3x+1,那么方程x2+3x10的根也可以看作是抛物线yx2与直线y=﹣3x+1交点的横坐标;这两个图象的交点个数即是方程x2+3x10的实数根的个数.

方法3:由于x≠0,将方程变形成,那么方程x2+3x10的根也可以看作是直线yx+3与双曲线交点的横坐标;这两个图象的交点个数即是方程x2+3x10的实数根的个数.

她类比上述方法,借助函数图象的交点个数对方程x3x20的实数根的个数进行了探究.

下面是小芳的探究过程,请补充完成:

1x0 方程x3x20的根;(填不是

2)方程x3x20的根可以看作是函数 与函数 的图象交点的横坐标;

3)在同一坐标系中画出两个函数的图象;

4)观察图象可得,方程x3x20的实数根的个数是 .

【答案】1)不是;(2yx21 ;(3)见解析;(41

【解析】

1)将x0代入x3x2中,可知x0不是方程x3x20的根;

2)将原方程变形为x≠0),由此即可得出结论;

3)画出函数yx21与函数的图象;

4)根据两函数图象交点的个数,找出方程解得个数.

解:(1)当x0时,x3x2=﹣2

x0不是方程x3x20的根.

故答案为:不是.

2)∵方程x3x20可变形为x≠0),

∴方程x3x20的根可以看作是函数yx21与函数的图象交点的横坐标.

故答案为:yx21.

3)画出两函数图象,如图所示.

4)观察图象可知,函数yx21与函数的图象只有一个交点,

∴方程x3x20的实数根的个数是1.

故答案为:1.

练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点.动点P从点A出发,在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动,到达点O停止运动,点A关于点P的对称点为点Q,以线段PQ为边向上作正方形PQMN.设运动时间为t秒.

(1)当t=秒时,点Q的坐标是   

(2)在运动过程中,设正方形PQMNAOB重叠部分的面积为S,求St的函数表达式;

(3)若正方形PQMN对角线的交点为T,请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值.

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科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】某校为了解学生每月零用钱情况,从七、八、九年级1200名学生中随机抽取部分学生,对他们今年4月份的零用钱支出情况进行调查统计并绘制成如下统计图表:

组别

零用钱支出x(单位:元)

频数(人数)

频率

节俭型

x<10

2

0.05

10≤x<20

4

0.10

富足型

20≤x<30

12

30≤x<40

m

奢侈型

40≤x<50

n

x≥50

2

请根据图表中所给的信息,解答下列问题:

(1)在这次调查中共随机抽取了   名学生,图表中的m=   ,n=   

(2)请估计该校今年4月份零用钱支出在“30≤x<40范围的学生人数;

(3)在抽样的“节俭型”学生中,有2位男生和4位女生,校团委计划从中随机抽取两人参与“映山红”的公益活动,求恰好抽中一男一女的概率.

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科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6a≠0)相交于A)和B4m),点P是线段AB上异于AB的动点,过点PPC⊥x轴于点D,交抛物线于点C

1)求抛物线的解析式;

2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值,若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由;

3)求PAC为直角三角形时点P的坐标.

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【题目】阅读下面材料:

在数学课上,老师提出如下问题:

已知:如图1ABC,尺规作图:求作∠APC=∠ABC.

甲、乙两位同学的主要作法如下:

甲同学的主要作法,如图甲:①作∠CAD=∠ACB,且点D与点BAC的异侧;②在射线AD上截取APCB,连结CP.所以∠APC=∠ABC.

乙同学的主要作法,如图乙:①作线段BC的垂直平分线a;②作线段AB的垂直平分线b,与直线a交于点O;③以点O为圆心,OA为半径作⊙O;④在上取一点P(点P不与点ABC重合),连结APCP.所以∠ACP=∠ABC.

老师说:两位同学的作法都是正确的.”

请你选择一位同学的作法,并说明这位同学作图的依据.

我选择的是_________的作法,这样作图的依据是_________.

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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0)的对称轴是,且经过A(﹣40),C02)两点,直线ly=kx+tk≠0)经过AC

1)求抛物线和直线l的解析式;

2)点P是直线AC上方的抛物线上一个动点,过点PPDx轴于点D,交AC于点E,过点PPFAC,垂足为F,当PEFAED时,求出点P的坐标;

3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使ACQ为等腰三角形?若存在,直接写出所有满足条件的Q点的坐标;若不存在,请说明理由.

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【题目】已知边长为2a的正方形ABCD,对角线ACBD交于点Q,对于平面内的点P与正方形ABCD,给出如下定义:如果,则称点P为正方形ABCD关联点”.在平面直角坐标系xOy中,若A(﹣11),B(﹣1,﹣1),C1,﹣1),D11.

1)在中,正方形ABCD关联点_____

2)已知点E的横坐标是m,若点E在直线上,并且E是正方形ABCD关联点,求m的取值范围;

3)若将正方形ABCD沿x轴平移,设该正方形对角线交点Q的横坐标是n,直线x轴、y轴分别相交于MN两点.如果线段MN上的每一个点都是正方形ABCD关联点,求n的取值范围.

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【题目】若二次函数yax2+bx+ca≠0)的图象于x轴的交点坐标分别为(x10),(x20),且x1x2,图象上有一点Mx0y0)在x轴下方,对于以下说法:①b24ac0xx0是方程ax2+bx+cy0的解③x1x0x2ax0x1)(x0x2)<0其中正确的是(  )

A.①③④B.①②④C.①②③D.②③

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【题目】阅读下列材料:

数学课上老师布置一道作图题:

已知:直线ll外一点P

求作:过点P的直线m,使得ml

小东的作法如下:

作法:如图2

1)在直线l上任取点A,连接PA

2)以点A为圓心,适当长为半径作弧,分别交线段PA于点B,直线l于点C

3)以点P为圆心,AB长为半径作弧DQ,交线段PA于点D

4)以点D为圆心,BC长为半径作弧,交弧DQ于点E,作直线PE.所以直线PE就是所求作的直线m

老师说:小东的作法是正确的.

请回答:小东的作图依据是________

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