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【题目】阅读下面材料:

在数学课上,老师提出如下问题:

已知:如图1ABC,尺规作图:求作∠APC=∠ABC.

甲、乙两位同学的主要作法如下:

甲同学的主要作法,如图甲:①作∠CAD=∠ACB,且点D与点BAC的异侧;②在射线AD上截取APCB,连结CP.所以∠APC=∠ABC.

乙同学的主要作法,如图乙:①作线段BC的垂直平分线a;②作线段AB的垂直平分线b,与直线a交于点O;③以点O为圆心,OA为半径作⊙O;④在上取一点P(点P不与点ABC重合),连结APCP.所以∠ACP=∠ABC.

老师说:两位同学的作法都是正确的.”

请你选择一位同学的作法,并说明这位同学作图的依据.

我选择的是_________的作法,这样作图的依据是_________.

【答案】 内错角相等,两直线平行;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;平行四边形对角相等

【解析】

甲:由内错角相等,两直线平行;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;平行四边形对角相等可得;

乙:由线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;圆的确定;同弧所对的圆周角相等可得.

解:甲、∵∠CAD=∠ACB

ADBC

又∵APCB

∴四边形ABCP是平行四边形,

∴∠B=∠APC

故甲作法的依据为:内错角相等,两直线平行;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;平行四边形对角相等.

乙、∵aAB的中垂线、bBC的中垂线,且交点为O

OAOBOC

∴点ABC在以O为圆心、OA为半径的圆上,

∴∠APC=∠ABC

故乙作法的依据是:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;圆的确定;同弧所对的圆周角相等.

故答案为:甲、内错角相等,两直线平行;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;平行四边形对角相等.

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1

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方法2:将方程变形成x2=﹣3x+1,那么方程x2+3x10的根也可以看作是抛物线yx2与直线y=﹣3x+1交点的横坐标;这两个图象的交点个数即是方程x2+3x10的实数根的个数.

方法3:由于x≠0,将方程变形成,那么方程x2+3x10的根也可以看作是直线yx+3与双曲线交点的横坐标;这两个图象的交点个数即是方程x2+3x10的实数根的个数.

她类比上述方法,借助函数图象的交点个数对方程x3x20的实数根的个数进行了探究.

下面是小芳的探究过程,请补充完成:

1x0 方程x3x20的根;(填不是

2)方程x3x20的根可以看作是函数 与函数 的图象交点的横坐标;

3)在同一坐标系中画出两个函数的图象;

4)观察图象可得,方程x3x20的实数根的个数是 .

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