【题目】阅读下面材料:
在数学课上,老师提出如下问题:
已知:如图1△ABC,尺规作图:求作∠APC=∠ABC.
甲、乙两位同学的主要作法如下:
甲同学的主要作法,如图甲:①作∠CAD=∠ACB,且点D与点B在AC的异侧;②在射线AD上截取AP=CB,连结CP.所以∠APC=∠ABC.
乙同学的主要作法,如图乙:①作线段BC的垂直平分线a;②作线段AB的垂直平分线b,与直线a交于点O;③以点O为圆心,OA为半径作⊙O;④在上取一点P(点P不与点A,B,C重合),连结AP,CP.所以∠ACP=∠ABC.
老师说:“两位同学的作法都是正确的.”
请你选择一位同学的作法,并说明这位同学作图的依据.
我选择的是_________的作法,这样作图的依据是_________.
【答案】甲 内错角相等,两直线平行;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;平行四边形对角相等
【解析】
甲:由内错角相等,两直线平行;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;平行四边形对角相等可得;
乙:由线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;圆的确定;同弧所对的圆周角相等可得.
解:甲、∵∠CAD=∠ACB,
∴AD∥BC,
又∵AP=CB,
∴四边形ABCP是平行四边形,
∴∠B=∠APC,
故甲作法的依据为:内错角相等,两直线平行;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;平行四边形对角相等.
乙、∵a为AB的中垂线、b为BC的中垂线,且交点为O,
∴OA=OB=OC,
∴点A、B、C在以O为圆心、OA为半径的圆上,
∴∠APC=∠ABC,
故乙作法的依据是:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;圆的确定;同弧所对的圆周角相等.
故答案为:甲、内错角相等,两直线平行;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;平行四边形对角相等.
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【题目】尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中.传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣:
①将半径为r的⊙O六等分,依次得到A,B,C,D,E,F六个分点;
②分别以点A,D为圆心,AC长为半径画弧,G是两弧的一个交点;
③连结OG.
问:OG的长是多少?
大臣给出的正确答案应是( )
A. r B. (1+)r C. (1+)r D. r
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【题目】如图1,点P从△ABC的顶点B出发,沿B→C→A匀速运动到点A,图2是点P运动时,线段BP的长度y随时间x变化的函数关系图象,其中M为曲线部分的最低点下列说法错误的是( )
A. △ABC是等腰三角形B. AC边上的高为4
C. △ABC的周长为16D. △ABC的面积为10
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【题目】我市东坡实验中学准备开展“阳光体育活动”,决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动,为了了解学生对这五项活动的喜爱情况,随机调查了名学生(每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种).
根据以上统计图提供的信息,请解答下列问题:
(1) , .
(2)补全上图中的条形统计图.
(3)若全校共有名学生,请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球.
(4)在抽查的名学生中,有小薇、小燕、小红、小梅等名学生喜欢羽毛球活动,学校打算从小薇、小燕、小红、小梅这名女生中,选取名参加全市中学生女子羽毛球比赛,请用列表法或画树状图法,求同时选中小红、小燕的概率.(解答过程中,可将小薇、小燕、小红、小梅分别用字母、、、代表)
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【题目】已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.
(1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA.
①求证:△OCP∽△PDA;
②若△OCP与△PDA的面积比为1:4,求边AB的长.
(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点,求∠OAB的度数;
(3)如图2,在(1)的条件下,擦去折痕AO,线段OP,连结BP,动点M在线段AP⊥(点M与点F、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连结MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问当点M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明理由;说明理由;若不变,求出线段EF的长度.
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【题目】有这样一个问题:探究方程x3﹣x﹣2=0的实数根的个数.
小芳想起了曾经解决的一个问题:通过函数图象探究方程x2+3x﹣1=0的实数根的个数,她想到了如下的几个方法:
方法1:方程x2+3x﹣1=0的根可以看作是抛物线y=x2+3x﹣1与直线y=0(即x轴)交点的横坐标;这两个图象的交点个数即是方程x2+3x﹣1=0的实数根的个数.
方法2:将方程变形成x2=﹣3x+1,那么方程x2+3x﹣1=0的根也可以看作是抛物线y=x2与直线y=﹣3x+1交点的横坐标;这两个图象的交点个数即是方程x2+3x﹣1=0的实数根的个数.
方法3:由于x≠0,将方程变形成,那么方程x2+3x﹣1=0的根也可以看作是直线y=x+3与双曲线交点的横坐标;这两个图象的交点个数即是方程x2+3x﹣1=0的实数根的个数.
她类比上述方法,借助函数图象的交点个数对方程x3﹣x﹣2=0的实数根的个数进行了探究.
下面是小芳的探究过程,请补充完成:
(1)x=0 方程x3﹣x﹣2=0的根;(填”是”或”不是”)
(2)方程x3﹣x﹣2=0的根可以看作是函数 与函数 的图象交点的横坐标;
(3)在同一坐标系中画出两个函数的图象;
(4)观察图象可得,方程x3﹣x﹣2=0的实数根的个数是 个.
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【题目】如图,点A(a,b)是双曲线y=(x>0)上的一点,点P是x轴负半轴上的一动点,AC⊥y轴于C点,过A作AD⊥x轴于D点,连接AP交y轴于B点.
(1)△PAC的面积是 ;
(2)当a=2,P点的坐标为(﹣2,0)时,求△ACB的面积;
(3)当a=2,P点的坐标为(x,0)时,设△ACB的面积为S,试求S与x之间的函数关系.
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【题目】豆豆妈妈用小米运动手环记录每天的运动情况,下面是她6天的数据记录(不完整):
(1)4月5日,4月6日,豆豆妈妈没来得及作记录,只有手机图片,请你根据图片数据,帮她补全表格.
(2)豆豆利用自己学习的统计知识,把妈妈步行距离与燃烧脂肪情况用如下统计图表示出来,请你根据图中提供的信息写出结论: .(写一条即可)
(3)豆豆还帮妈妈分析出步行距离和卡路里消耗数近似成正比例关系,豆豆妈妈想使自己的卡路里消耗数达到250千卡,预估她一天步行距离为 公里.(直接写出结果,精确到个位)
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【题目】在等边三角形ABC中,E为直线AB上一点,连接EC.ED与直线BC交于点D,ED=EC.
(1)如图1,AB=1,点E是AB的中点,求BD的长;
(2)点E是AB边上任意一点(不与AB边的中点和端点重合),依题意,将图2补全,判断AE与BD间的数量关系并证明;
(3)点E不在线段AB上,请在图3中画出符合条件的一个图形.
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