Question

【题目】如图，等腰直角△ABC，OC＝2，抛物线y＝ax2+c过A，B，C三点，D为抛物线上一点，连接BD且tan∠DBC＝．

（1）求直线BD和抛物线所表示的函数解析式．

（2）如果在抛物线上有一点E，使得S△EBC＝S△ABD，求这时E点坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或或或

【解析】

(1)根据题意得到A(0,2)，B(2,0)，C(2,0)，根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，设BD与y轴的交点为M，由tan∠DBC＝，求得M的坐标为(0,1)，根据待定系数法即可求得直线BD的解析式；
(2)解析式联立求得D的坐标，然后根据S△ABD＝S△ABM+S△ADM求得△EBC面积，根据面积公式求得E的纵坐标，把纵坐标代入抛物线解析式即可求得横坐标，得到E的坐标．

（1）等腰直角△ABC，OC＝2，

∴OA＝OB＝OC＝2，

∴A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），

∵抛物线y＝ax2+c过A，B，C三点，

∴，解得，

∴抛物线的解析式为y＝﹣+2；

∵tan∠DBC＝，

设BD与y轴的交点为M，

∴＝，

∴OM＝2×＝1，

∴M（0，1），

设直线BD的解析式为y＝kx+b，

把B（﹣2，0），M（0，1）代入得，

解得，

∴直线BD的解析式为y＝+1；

（2）解得或，

∴D（1，），

∴S△ABD＝S△ABM+S△ADM＝×（2﹣1）×2+（2﹣1）×＝，

∵S△EBC＝S△ABD，

∴BC|yE|＝，即|yE|＝，

∴|yE|＝，

∴E的纵坐标为±，

把y＝代入y＝﹣+2得，＝﹣+2，

解得x＝±，

把y＝﹣代入y＝﹣+2得，﹣＝﹣+2，

解得x＝±，

∴E点的坐标为（，）或（﹣，）或（，﹣）或（﹣，﹣）．