Question

如图，△ABC中，D为AB延长线上一点，E、F分别为BC、AC上一点，已知AF=EB，求证：BC•ED=AC•DF．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：过点E作EG∥AC交AB于G．先由EG∥AF，得出△DAF∽△DGE，根据相似三角形对应边成比例得到

DF

DE

=

AF

GE

，将AF=EB代入，得到

DF

DE

=

EB

GE

①，再由EG∥AC，得出△BAC∽△BGE，根据相似三角形对应边成比例得到

BC

BE

=

AC

GE

，即

BC

AC

=

EB

GE

②，比较①②，得

DF

DE

=

BC

AC

，根据比例的基本性质即可证明BC•ED=AC•DF．

解答：证明：如图，过点E作EG∥AC交AB于G．
∵EG∥AF，
∴△DAF∽△DGE，
∴

DF

DE

=

AF

GE

，
∵AF=EB，
∴

DF

DE

=

EB

GE

①．
∵EG∥AC，
∴△BAC∽△BGE，
∴

BC

BE

=

AC

GE

，
∴

BC

AC

=

EB

GE

②．
比较①②，得

DF

DE

=

BC

AC

，
∴BC•ED=AC•DF．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，比例的性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．