Question

如图，正方形ABCD中，E为AB中点，EF⊥DE且BF平分∠CBM，求证：DE=EF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：作FG⊥AM于G，根据BF平分∠CBM，推得△FGB是等腰直角三角形，推出FG=BG，然后根据三角形相似推出EG=2FG，从而推出FG=EB，进而推出FG=AE，最后根据AAS证得△ADE≌△GEF，即可证得结论；

解答：证明：作FG⊥AM于G，
∵BF平分∠CBM，
∴三角形BFG是等腰直角三角形，
∴FG=BG，
∵EF⊥DE，
∴∠AED+∠FEB=90°，
∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠FEB，
∵∠A=∠FGE=90°
∴△ADE∽△GEF，
∴

AE

AD

=

FG

EG

=

1

2

，
∴EG=2FG，
∴FG=BE，
∴FG=AE，
在△ADE与△GEF中，

∠ADE=∠FEB ∠A=∠FGE=90° FG=AE

，
∴△ADE≌△GEF（AAS），
∴DE=EF．

点评：本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质等，作FG⊥AM构建全等三角形是本题的关键．