Question

如图，已知半⊙O的直径AB=12，AD、BC、CD是⊙O的切线，E是半⊙O上的动切点，AD=x，BC=y．
（1）用x、y的代数式表示CD=

 

，xy=

 

；
（2）记△COD的面积为S，求S的最小值．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用切线长定理即可得到CD和x，y之间的关系式；根据切线的性质和切线长定理可证明△EOD∽△COE，由相似三角形的性质即可得到xy的乘积；
（2）根据（1）中的数据和三角形的面积根据即可求出S的最小值．

解答：解：（1）∵AD、BC、CD是⊙O的切线，
∴AD=DE，BC=CE，
∵AD=x，BC=y．
∴CD=DE+CE=x+y，
∵CD是⊙O的切线，
∴OE⊥DC，
∴△EOD∽△COE，
∴OE²=DE•CE=AD•BC=36，
故答案为：x+y，36；

（2）∵s=

1

2

CD•OE
=

1

2

（x+y）×6=3（x+y）
=3（x+

36

x

）
=3（

x

-

6

x

）²+36≥36，
∴S的最小值是36．

点评：本题综合考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质以及三角形面积公式的运用，题目的综合性较强，难度中等．