Question

如图，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（-1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出E点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据韦达定理即可求得a、b的值，即可解题；
（2）存在满足条件的点E，存在2种情况：①∠AEQ'=90°；②∠AQ'E'=90°；分类讨论即可求得点E坐标，即可解题；
（3）如图，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQ⊥AP于F，根据FQ∥OC可得

AF

AO

=

FQ

OC

=

AQ

AC

，即可求得AF、FQ的值（用t表示），即可求得点Q坐标（用t表示），根据DQ=AP即可求得点D坐标（用t表示），再根据D在二次函数y=-x²-2x-3上，即可求得t的值，即可求得点D坐标，即可解题．

解答：解：（1）∵二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（-1，0），
∴x₁•x₂=

c

a

=c=-3，x₁+x₂=-

b

a

=-b=2，
∴b=-2，
∴该二次函数的解析式为y=x²-2x-3，
当x=0时，y=-3，
∴C（0，-3）；
（2）存在满足条件的点E，存在3种情况：

①∠AEQ'=90°，
∵AQ'=AB=4，
∴AE=2

2

，
∴OE=4-2

2

，
∴点E坐标（4-2

2

，0）；
②∠AQ'E'=90°，
此时AE=EE'，
∴AE'=4

2

，
∴OE=AE'-OA=4

2

-4，
∴点E'坐标（4-4

2

，0）；
③∵AB=AQ，
∴点E与点B重合时，△AEQ为等腰三角形；
综上所述：点E坐标为（4-2

2

，0）、（4-4

2

，0）或（-1，0）；
（3）四边形APDQ为菱形；
理由：如图，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQ⊥AP于F，

∵AQ=PD，AP=DQ，
∴四边形APDQ为平行四边形，
∵AP=AQ，
∴平行四边形APDQ为菱形，且AP=AQ=t，
∵FQ∥OC，
∴

AF

AO

=

FQ

OC

=

AQ

AC

，
∴

AF

3

=

FQ

3

=

t

5

，
∴AF=

3

5

t，FQ=

3

5

t，
∴Q（3-

3

5

t，-

3

5

t），
∵DQ=AP=t，
∴D（3-

3

5

t-t，-

3

5

t），
∵D在二次函数y=-x²-2x-3上，
∴-

3

5

t=（3-

8

5

t）²-2（3-

8

5

t）-3，
∴t=

15

4

，或t=0（与A重合，舍去），
∴D（-3，-

9

4

）．

点评：本题考查了抛物线解析式的求解，考查了抛物线和直线交点的求解，考查了菱形的判定和菱形各边长相等的性质，考查了等腰直角三角形的性质，考查了平分线分线段成比例的性质，本题中用t表示点D的坐标是解题的关键．