Question

【题目】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AB、AD的中点．

（1）若AC＝10，BD＝24，求菱形ABCD的周长；

（2）连接OE、OF，若AB⊥BC，则四边形AEOF是什么特殊四边形？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）菱形ABCD的周长是52；（2）菱形AEOF是正方形，理由见解析

【解析】分析(1) 根据菱形的性质：对角线互相垂直，利用勾股定理求出AB，即可求解;

(2)首先判断四边形AEOF是平行四边形,再判断平行四边形AEOF是菱形.即可得解.

详解:（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，

∵AC＝10，BD＝24，

∴ AO＝5，BO＝12，

∴AB＝13，

∴菱形ABCD的周长是52.

（2）若AB⊥BC，则四边形AEOF是正方形，理由如下：

∵E、O分别是AB、BD中点，∴OE∥AD， 即：OE∥AF，

同理可证：OF∥AE，

∴四边形AEOF是平行四边形，

∵AB＝AD，∴AE＝AF，

∴平行四边形AEOF是菱形.

∵AB⊥BC，∴∠BAD＝90°，

所以菱形AEOF是正方形.

点睛: 此题主要考查了菱形的性质以及三角形中位线定理是解题关键．