Question

如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．
（1）求证：四边形ADCN是平行四边形；
（2）若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．

Answer 1

考点：矩形的判定,平行四边形的判定

专题：证明题

分析：（1）首先证明△ADM≌△CNM可得AD=CN，再由条件AD∥CN可证明四边形ADCN是平行四边形；
（2）首先根据内角与外角的性质可得∠MCD=∠CDM，根据等角对等边可得DM=CM，再根据对角线相等的四边形是矩形可得结论．

解答：证明：（1）∵CN∥AB，
∴∠1=∠2，
在△ADM和△CNM中，

∠1=∠2 AM=CM ∠AMD=∠CMN

，
∴△ADM≌△CNM（ASA），
∴AD=CN，
又∵CN∥AD，
∴四边形ADCN是平行四边形；

（2）∵∠AMD=2∠MCD，
∴∠MCD=∠CDM，
∴DM=CM，
∵四边形ADCN是平行四边形，
∴DM=

1

2

DN，CM=

1

2

AC，
∴DN=AC，
∴四边形ADCN是矩形．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定与矩形的判定，关键是掌握对角线相等的四边形是矩形．