Question

4．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD的中点，连接BF、CE交于点H，连接HD，过B点作BG平行HD，已知△HFD的面积是2016平方厘米，求阴影四边形BGDH的面积？

Answer 1

分析 如延长FE交CB的延长线于M，连接BD交CE于N，先证明$\frac{BH}{BF}=\frac{BN}{EF}=\frac{BN}{EF}=\frac{CB}{CM}=\frac{2}{3}$，求出△BHD面积，再证明△BEG∽△DCH，得BG：HD=EB：CD=1：2，得到S_△BGH：S_△HDG=1：2，由此可以解决问题．

解答 解：如图延长FE交CB的延长线于M，连接BD交CE于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠M=∠AFE，
在△MEB和△FEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠AFE}\\{BE=AE}\\{∠MEB=∠AEF}\end{array}\right.$，
∴△MEB≌△FEA，
∴BM=AM，ME=EF，
∵AF=FD，AE=EB，
∴EF∥BD，
∴$\frac{BN}{EF}=\frac{BH}{FH}=\frac{BN}{MF}=\frac{CB}{CM}=\frac{2}{3}$，
∴${S}_{△BHD}=\frac{2}{3}$×2016=1344，
∵BG∥HD，
∴∠BGE=∠CHD，S_△BHD=S_△HDG，
∵∠BEG=∠DCH，
∴△BEG∽△DCH，
∴BG：HD=EB：CD=1：2，
∴S_△BGH：S_△HDG=1：2，
∴S_△BHG=672，
∴S_阴=S_△BHG+S_△HGD=672+1344=2016．

点评 本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线求出相应线段的比，题目比较难，综合性强．