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【题目】两个含30°角的直角三角形ABC和直角三角形BED如图那样拼接,CBD在同一直线上,ACBD,∠ABC=∠E30°,∠ACB=∠BDE90°M为线段CB上一个动点(不与CB重合).过MMNAM,交直线BEN,过NNHBDH

1)当M在什么位置时,AMC∽△NBH

2)设AC

①若CM2,求BH的长;

②当M沿线段CB运动时,连接AN(图中未连),求AMN面积的取值范围.

【答案】1)见解析;(2)①BH2;②

【解析】

1)先确定AMCNBH都是直角三角形,再根据垂直平行可得:∠BNH30°,由相似三角形的对应关系,可得:当∠CAM30°时,可得:AMC∽△NBH,从而确定M的位置;

2)①设BHx,则HNMH1+x,证明ACM∽△MHN,则,即,可得BH的长;

②由题得ACBDBCED3,∠NBH60°,设CMx0x3),BHt,则HNtMB3x,从而MH3x+t,同理ACM∽△MHN得列方程可得:BHx,分别表示AMMN的长,利用三角形面积公式可得SAMN,由x的取值范围可得结论.

解:(1)由题知,NHBDEDBD

∴∠BNH30°,又AMCNBH都是直角三角形,

∴当∠CAM30°,即当M位于∠CAB的平分线上时,AMC∽△NBH

2)①RtACB中,∵ACCM2,∠CAB60°

CB3MB1

BHx

∵∠EBD60°

HNxMH1+x

MNAM

∴∠AMC+NMH90°,又∠AMC+CAM90°

∴∠CAM=∠HMN

∵∠ACM=∠MHN90°

∴△ACM∽△MHN

,即x2,即BH2

②由题得ACBDBCED3,∠NBH60°

tan30°

CMx0x3),BHt,则HNtMB3x

从而MH3x+t

ACM∽△MHN

3x)(tx)=0x3

tx,即有BHx

MHMB+BH3x+x3

AMMN

SAMN

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