Question

【题目】在菱形ABCD中，点P、Q分别在BC、CD上，∠PAQ＝∠B．

（1）如图1，若AP⊥BC，求证：AP＝AQ；

（2）如图2，若点P为BC上一点，AP＝AQ仍成立吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）成立；（2）成立，见解析

【解析】

（1）根据题意可利用菱形的性质证明△ABP≌△ADQ（AAS）即可解答

（2）过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，在证明△AEP≌△AFQ（ASA）即可解答

（1）在菱形ABCD中，

∠B+∠C＝180°，AB＝AD，∠B＝∠D，

∵∠PAQ＝∠B，

∴∠PAQ+∠C＝180°，

∴∠APC+∠AQC＝180°，

∵AP⊥BC，

∴∠APB＝∠AQD＝90°，

在△ABP与△ADQ中，

，

∴△ABP≌△ADQ（AAS），

∴AP＝AQ；

（2）过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，

由（1）可知：AE＝AF，∠PAQ＝∠B＝∠EAF，

∴∠EAP＝∠FAQ，

在△AEP与△AFQ中，

，

∴△AEP≌△AFQ（ASA），

∴AP＝AQ．