【题目】抛物线y=x+2x-3与x轴相交于A、B两点,其顶点为M,将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折,其余部分保持不变,得到一个新的图象,如图.在这个新图象上有一点P,能使得S△ABP=6,则点P的坐标为___________.
【答案】(- 1+,3)或(-1-,3)或(-2,3)或(0,3)
【解析】
先求出A,B两点的坐标,从而求出AB的长,再根据面积计算公式列方程 求解即可.
把y=0代入y=x+ 2x -3得x+2x-3=0,解得x=-3,x=1∴A(-3,0),B(1,0),∴AB=4.∵y=x+2x-3=(x+1)-4,∴M(-1,-4).将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折,此时向上翻折部分的抛物线的顶点坐标为(-1,4).由于抛物线翻折,开口方向改变,形状不变,则向上翻折部分抛物线的式为y=-(x+1)+4= -x-2x+3(-3≤x≤1).设点P的横坐标为a,当点P在原抛物线y=x+2x-3上时(x轴上方的部分),可得×4×(a+2a-3)=6,解得a=-1+,a=-1-,∴P(-1+,3).P(-1-,3),当点P在新抛物线y=-x-2x+3上时(x轴上方的部分),可得×4×(-a-2a+3)=6,解得a=-2,a=0,∴P(-2,3),P(0,3).综上,点P的坐标为(-1+,3)或(-1-,3)或(-2,3)或(0,3).
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴上,点B在第一象限内,∠OAB=90°,OA=AB,△OAB的面积为2,反比例函数y=的图象经过点B.
(1)求k的值;
(2)已知点P坐标为(a,0),过点P作直线OB的垂线l,点O,A关于直线l的对称点分别为O′,A′,若线段O′A′与反比例函数y=的图象有公共点,直接写出a的取值范围.
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【题目】如图,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(2,4),B(1,1),C(3,2).
(1)作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1,并写出点C1的坐标.
(2)已知△A2B2C2与△ABC关于直线l对称,若点C2的坐标为(﹣2,﹣3),请直接写出直线l的函数解析式.注:点A1,B1,C1及点A2,B2,C2分别是点A,B,C按题中要求变换后对应得到的点.
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【题目】如图,点A1,A2,A3…,An在x轴正半轴上,点C1,C2,C3,…,在y轴正半轴上,点B1,B2,B3,…,Bn在第一象限角平分线OM上,OB1=B1B2=B1B3=…=Bn﹣1Bn=a,A1B1⊥B1C1,A2B2⊥B2C2,A3B3⊥B3C3,…,,…,则第n个四边形的面积是____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣1,0)和点C(0,4),交x轴正半轴于点B,连接AC,点E是线段OB上一动点(不与点O,B重合),以OE为边在x轴上方作正方形OEFG,连接FB,将线段FB绕点F逆时针旋转90°,得到线段FP,过点P作PH∥y轴,PH交抛物线于点H,设点E(a,0).
(1)求抛物线的解析式.
(2)若△AOC与△FEB相似,求a的值.
(3)当PH=2时,求点P的坐标.
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【题目】
(1)(操作发现)
如图①,将△ABC绕点A顺时针旋转60°,得到△ADE,连接BD,则∠ABD=____度;
(2)(类比探究)
如图②,在等边三角形ABC内任取一点P,连接PA,PB,PC,求证:以PA,PB,PC的长为三边必能组成三角形:
(3)(解决问题)
如图③,在边长为的等边三角形ABC内有一点P,∠APC=90°,∠BPC=120°,求△APC的面积;
(4)(拓展应用)
图④是A,B,C三个村子位置的平面图,经测量AC=4,BC=5,∠ACB=30°,P为△ABC内的一个动点,连接PA,PB,PC,求PA+PB+PC的最小值.
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【题目】二次函数的图象如图,根据图象回答下列问题:
(1)写出方程的两个根;
(2)写出不等式的解集;
(3)写出不等式的解集;
(4)如果方程无实数根,求的取值范围.
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【题目】(9分)九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:
售价(元/件) | 100 | 110 | 120 | 130 | … |
月销量(件) | 200 | 180 | 160 | 140 | … |
已知该运动服的进价为每件60元,设售价为元.
(1)请用含x的式子表示:①销售该运动服每件的利润是 元;②月销量是 件;(直接写出结果)
(2)设销售该运动服的月利润为元,那么售价为多少时,当月的利润最大,最大利润是多少?
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