Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值．

（3）当PH＝2时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）a＝或；（3）点P的坐标为（2，4）或（1，4）或（，4）．

【解析】

（1）点C（0，4），则c＝4，

二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+4，

将点A的坐标代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；

（2）tan∠ACO＝＝，

△AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO，

即：tan∠FEB＝或4，

∵四边形OEFG为正方形，则FE＝OE＝a，

EB＝4﹣a，

则或，

解得：a＝或；

（3）令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故点B（4，0）；

分别延长CF、HP交于点N，

∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°，

∴∠FPN＝∠NFB，

∵GN∥x轴，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，

∵∠PNF＝∠BEF＝90°，FP＝FB，

∴△PNF≌△BEF（AAS），

∴FN＝FE＝a，PN＝EB＝4﹣a，

∴点P（2a，4），点H（2a，﹣4a2+6a+4），

∵PH＝2，

即：﹣4a2+6a+4﹣4＝|2|，

解得：a＝1或或或（舍去），

故：点P的坐标为（2，4）或（1，4）或（，4）．