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【题目】已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.

(1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA.

①求证:△OCP∽△PDA;

②若△OCP与△PDA的面积比为1:4,求边AB的长.

(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点,求∠OAB的度数;

(3)如图2,在(1)的条件下,擦去折痕AO,线段OP,连结BP,动点M在线段AP⊥(点M与点F、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连结MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问当点M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明理由;说明理由;若不变,求出线段EF的长度.

【答案】(1)△OCP∽△PDA;AB=10;(2)∠OAB=30°;(3)EF的长度不变.

【解析】

试题分析:(1)①根据折叠的性质得到∠APO=∠B=90°,根据相似三角形的判定定理证明△OCP∽△PDA;

②根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答;

(2)根据直角三角形的性质得到∠DAP=30°,根据折叠的性质解答即可;

(3)作MQ∥AB交PB于Q,根据等腰三角形的性质和相似三角形的性质得到EF=PB,根据勾股定理求出PB,计算即可.

试题解析:解:(1)①由折叠的性质可知,∠APO=∠B=90°,

∴∠APD+∠OPC=90°,又∠POC+∠OPC=90°,

∴∠APD=∠POC,又∠D=∠C=90°,

∴△OCP∽△PDA;

②∵△OCP与△PDA的面积比为1:4,

∴△OCP与△PDA的相似比为1:2,

∴PC=AD=4,

设AB=x,则DC=x,AP=x,DP=x﹣4,

在Rt△APD中,AP2=AD2+PD2,即x2+82=(x﹣4)2

解得,x=10,即AB=10;

(2)∵点P是CD边的中点,

∴DP=DC,又AP=AB=CD,

∴DP=AP,

∴∠DAP=30°,

由折叠的性质可知,∠OAB=∠OAP=30°;

(3)EF的长度不变.

作MQ∥AB交PB于Q,

∴∠MQP=∠ABP,

由折叠的性质可知,∠APB=∠ABP,

∴∠MQP=∠APB,

∴MP=MQ,又BN=PM,

∴MQ=BN,

∵MQ∥AB,

∴QF=FB,

∵MP=MQ,ME⊥BP,

∴PE=QE,

∴EF=PB,

由(1)得,PC=4,BC=8,

∴PB==4

∴EF=2

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