Question

【题目】定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．

（问题理解）

(1)如图1，点A、B、C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD、CD．

求证：四边形ABCD是等补四边形；

（拓展探究）

(2)如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由；

（升华运用）

(3)如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F．若CD＝6，DF＝2，求AF的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2) AC平分∠BCD，理由见解析；(3) AF＝4．

【解析】

（1）由圆内接四边形互补可知∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°，再证AD=CD，即可根据等补四边形的定义得出结论；
（2）过点A分别作AE⊥BC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，证△ABE≌△ADF，得到AE=AF，根据角平分线的判定可得出结论；
（3）连接AC，先证∠EAD=∠BCD，推出∠FCA=∠FAD，再证△ACF∽△DAF，利用相似三角形对应边的比相等可求出AF的长．

(1)证明：∵四边形ABCD为圆内接四边形

∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°.

∵BD平分∠ABC

∴∠ABD＝∠CBD

∴弧AD＝弧CD

∴AD＝CD

∴四边形ABCD是等补四边形

(2)AC平分∠BCD，理由如下：

过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F则

∠AEB＝∠AFD＝90°

∵四边形ABCD是等补四边形

∴∠ADC+∠B＝180°

又∵∠ADC+∠ADF＝180°

∴∠B＝∠ADF

在△AFD与△AEB中

∴≌

∴

∴点A一定在∠BCD的平分线上

即AC平分∠BCD.

(3)连接AC

同(2)理得∠EAD＝∠BCD

由(2)知AC平分∠BCD所以∠FCA＝∠BCD

同理∠FAD＝∠EAD

∴∠FCA＝∠FAD.

又∵∠F＝∠F

∴△FAD∽△FCA

∴

即

∴AF＝4