Question

20．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；
（3）如果CD=15，sinA=$\frac{5}{13}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°，即可证明BC是⊙O的切线；
（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数；
（3）如图，延长CD交⊙O于M．设OA=r，则AD=$\frac{1}{2}$r．DE=$\frac{5}{24}$r，DF=DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，CF=15-$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，CE=CB=15-$\frac{5}{24}$r．
根据BC²=CF•CM，列出方程即可解决问题．

解答 （1）证明：连接OB，
∵OB=OA，CE=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC，
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°，
∴∠OBA+∠ABC=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：如图1，连接OF，AF，BF，

∵DA=DO，CD⊥OA，
∴AF=OF，
∵OA=OF，
∴△OAF是等边三角形，
∴∠AOF=60°，
∴∠ABF=$\frac{1}{2}$∠AOF=30°；
（3）解：如图，延长CD交⊙O于M．设OA=r，则AD=$\frac{1}{2}$r．DE=$\frac{5}{24}$r，DF=DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，CF=15-$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，CE=CB=15-$\frac{5}{24}$r．

∵BC²=CF•CM，
∴（15-$\frac{5}{24}$r）²=（15-$\frac{\sqrt{3}}{2}$r）（15+$\frac{\sqrt{3}}{2}$r），
解得r=$\frac{3600}{457}$

点评 此题考查了切线的判定，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．