Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

（1）点P是线段BC下方的抛物线上一点，过点P作PD⊥BC交BC于点D，过点P作EP∥y轴交BC于点E．点MN是直线BC上两个动点且MN＝AO（xM＜xN）．当DE长度最大时，求PM+MN﹣BN的最小值．

（2）将点A向左移动3个单位得点G，△GOC延直线BC平移运动得到三角形△G'O′C'（两三角形可重合），则在平面内是否存在点G'，使得△G′BC为等腰三角形，若存在，直接写出满足条件的所有点G′的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点G′（﹣4，0）或（﹣，）．

【解析】

（1）DE＝PEsin∠EPD＝（x﹣﹣x2+x+），当x＝2时，DE最大，此时点P（2，﹣）；MN＝AO＝1，将△BCO沿BC翻折得到△BCO′，将点P沿CB的方向平移1个单位得到点P′（，），作P′H⊥BO′交BO′于点H，交BC于点N，将点N沿BC方向平移1个单位得到点M，则点M、N为所求，即可求解；

（2）分BC＝BG′、BC＝G′C、BG＝CG′三种情况，分别求解即可．

（1）y＝＝（x﹣4）（x+1），

故点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0）、（0，﹣）；

则直线BC的表达式为：y＝（x﹣4）；

设点P（x，），则点E（x，x﹣），

∵，∠EPD=∠OBC，

∴DE＝PEsin∠EPD＝（x﹣﹣x2+x+），

当x＝2时，DE最大，此时点P（2，﹣）；

MN＝AO＝1，将△BCO沿BC翻折得到△BCO′，

将点P沿CB的方向平移1个单位得到点P′（，），作P′H⊥BO′交BO′于点H，交BC于点N，

将点N沿BC方向平移1个单位得到点M，则点M、N为所求；

P′P∥MN，且PP′＝MN，则四边形P′PNM为平行四边形，则P′N＝PM，

∠CBO′＝∠OBC＝30°，则HN＝NBsin30=BN，

PM+MN﹣BN＝MN+P′N﹣BN＝MN+P′H为最小；

直线BO′的倾斜角为60°，则其表达式为：y＝（x﹣4）…①，

则直线P′N表达式中的k为：﹣，其表达式为：y＝﹣x+b，

将点P′坐标代入并解得：

直线P′N的表达式为：y＝﹣x+…②，

联立①②并解得：x＝，故点H（，）；

P′H＝，

PM+MN﹣BN最小值＝MN+P′N﹣BN＝MN+P′H＝；

（2）直线BC的表达式为：y＝（x﹣4）；点G（﹣4，0），

设△GOC沿直线BC向上平移m个单位，则向右平移m个单位，则点G′（m﹣4，m）；

BC2＝，BG′2＝（m﹣8）2+3m2，CG′2＝（m﹣4）2+（m+）2＝4m2+；

①当BC＝BG′时，BC2＝（m﹣8）2+3m2，方程无解；

②当BC＝G′C时，同理可得：m＝0；

③当BG＝CG′时，同理可得：m＝；

即m＝0或，

故点G′（﹣4，0）或（﹣，）．