Question

1．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D；
（1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数；
（2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C-∠B有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C-∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由三角形内角和定理可得∠BAC=100°，∠CAD=40°，由角平分线的性质易得∠EAC的度数，可得∠EFD；
（2）由角平分线的性质和三角形的内角和得出∠BAE=90°-$\frac{1}{2}$（∠C+∠B），外角的性质得出∠AEC=90°+$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），在△EFD中，由三角形内角和定理可得∠EFD；
（3）与（2）的方法相同．

解答 （1）解：∵∠C=50°，∠B=30°，
∴∠BAC=180°-50°-30°=100°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=50°．
在△ACE中∠AEC=80°，
在Rt△ADE中∠EFD=90°-80°=10°．

（2）∠EFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）
证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{180°-∠B-∠C}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$（∠C+∠B）
∵∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+90°-$\frac{1}{2}$（∠C+∠B）=90°+$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°-90°-$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）
∴∠EFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）

（3）∠EFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．
如图，

∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{180°-∠B+∠C}{2}$．
∵∠DEF为△ABE的外角，
∴∠DEF=∠B+$\frac{180°-∠B+∠C}{2}$=90°+$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°-90°-$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）
∴∠EFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．

点评 本题主要考查了三角形的内角和定理，综合利用角平分线的性质和三角形内角和定理是解答此题的关键．